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康福德（《从宗教到哲学》）说，在他看来，“毕达哥拉斯代表着我们所认为与科
学倾向相对立的那种神秘传统的主潮。”他认为巴门尼德——他称之为“逻辑的发现者”
——“是毕达哥拉斯的一个支派，而柏拉图本人则从意大利哲学获得了他的灵感的主要
来源”。他说毕达哥拉斯主义是奥尔弗斯教内部的一种改良运动，而奥尔弗斯教又是狄
奥尼索斯崇拜中的改良运动。理性的东西与神秘的东西之互相对立贯穿着全部的历史，
它在希腊人中间最初表现为奥林匹克的神与其他较为不开化的神之间的对立，后者更接
近于人类学者们所研究的原始信仰。在这个分野上，毕达哥拉斯是站在神秘主义方面的，
虽然他的神秘主义具有一种特殊的理智性质。他认为他自己具有一种半神明的性质，而
且似乎还曾说过，“既有人，又有神，也还有象毕达哥拉斯这样的生物。”康福德说，
受他所鼓舞的各种体系“都是倾向于出世的，把一切价值都置于上帝的不可见的统一性
之中，并且把可见的世界斥为虚幻的，说它是一种混浊的介质，其中上天的光线在雾色
和黑暗之中遭到了破坏，受到了蒙蔽”。
狄凯阿克斯说，毕达哥拉斯教导说，“首先，灵魂是个不朽的东西，它可以转变成
别种生物；其次，凡是存在的事物，都要在某种循环里再生，没有什么东西是绝对新的；
一切生来具有生命的东西都应该认为是亲属。”①据说，毕达哥拉斯好象圣法兰西斯一
样地曾向动物说法。
在他建立的团体里，不分男女都可以参加；财产是公有的，而且有一种共同的生活
方式，甚至于科学和数学的发现也认为是集体的，而且，在一种神秘的意义上，都得归
功于毕达哥拉斯；甚至于在他死后也还是如此。梅达彭提翁的希巴索斯曾违反了这条规
矩，便因船只失事而死，这是神对于他的不虔诚而震怒的结果。
但是这一切与数学又有什么关系呢？它们是通过一种赞美沉思生活的道德观而被联
系在一片的。伯奈特把这种道德观总结如下：
“我们在这个世界上都是异乡人，身体就是灵魂的坟墓，然而我们决不可以自杀以
求逃避；因为我们是上帝的所有物，上帝是我们的牧人，没有他的命令我们就没权利逃
避。在现世生活里有三种人，正象到奥林匹克运动会上来的也有三种人一样。那些来作
买卖的人都属于最低的一等，比他们高一等的是那些来竞赛的人。然而，最高的一种乃
是那些只是来观看的人们。因此，一切中最伟大的净化便是无所为而为的科学，唯有献
身于这种事业的人，亦即真正的哲学家，才真能使自己摆脱'生之巨轮'。”①文字涵义
的变化往往是非常有启发意义的。我在上文已经提到“狂欢”（orgy）那个字；现在我
就要谈谈“理论”（theory）这个字。这个字原来是奥尔弗斯教派的一个字，康福德解
释为“热情的动人的沉思”。他说，在这种状态之中“观察者与受苦难的上帝合而为一，
在他的死亡中死去，又在他的新生中复活”；对于毕达哥拉斯，这种“热情的动人的沉
思”乃是理智上的，而结果是得出数学的知识。这样，通过了毕达哥拉斯主义，“理论”
就逐渐地获得了它的近代意义；然而对一切为毕达哥拉斯所鼓舞的人们来说，它一直保
存着一种狂醉式的启示的成份。这一点，对于那些在学校里无可奈何地学过一些数学的
人们来说，好象是很奇怪的；然而对于那些时时经验着由于数学上的豁然贯通而感到沉
醉欢欣的人们来说，对于那些喜爱数学的人们来说，毕达哥拉斯的观点则似乎是十分自
然的，纵令它是不真实的。仿佛经验的哲学家只是材料的奴隶，而纯粹的数学家，正象
音乐家一样，才是他那秩序井然的美丽世界的自由创造者。
最有趣的是，我们从伯奈特叙述的毕达哥拉斯的伦理学里，可以看出与近代价值相
反的观念。譬如在一场足球赛里，有近代头脑的人总认为足球员要比观众伟大得多。至
于国家，情形也类似：他们对于政治家（政治家是比赛中的竞争者）的崇拜有甚于对于
那些仅仅是旁观者的人们。这一价值的变化与社会制度的改变有关——战士、君子、财
阀、独裁者，各有其自己的善与真的标准。君子在哲学理论方面曾经有过长期的当权时
代，因为他是和希腊天才结合在一片的，因为沉思的德行获得了神学的保证，也因为无
所为而为的真理这一理想庄严化了学院的生活。君子可以定义为平等人的社会中的一分
子，他们靠奴隶劳动而过活，或者至少也是依靠那些毫无疑问地位卑贱的劳动人民而过
活。应该注意到在这个定义里也包括着圣人与贤人，因为就这些圣贤的生活而论，他们
也是耽于沉思的而不是积极活动的。
近代关于真理的定义，例如实用主义的和工具主义的关于真理的定义，就是实用的
而不是沉思的，它是由于与贵族政权相反对的工业文明所激起的。
无论人们对于容许奴隶制存在的社会制度怀着怎样的想法，但正是从上面那种意义
的君子那里，我们才有了纯粹的数学。沉思的理想既能引人创造出纯粹的数学，所以就
是一种有益的活动的根源；这一点就增加了它的威望，并使它在神学方面、伦理学方面
和哲学方面获得了一种在其他情况下所不能享有的成功。
关于毕达哥拉斯之作为一个宗教的先知与作为一个纯粹的数学家这两方面，我们已
经解释得很多了。在这两方面，他都有着无可估计的影响，而且这两方面在当时也不象
近代人所想象的那样是分离开来的。
大多数的科学从它们的一开始就是和某些错误的信仰形式联系在一片的，这就使它
们具有一种虚幻的价值。天文学和占星学联系在一片，化学和炼丹术联系在一片。数学
则结合了一种更精致的错误类型。数学的知识看来是可靠的、准确的，而且可以应用于
真实的世界。此外，它还是由于纯粹的思维而获得的，并不需要观察。因此之故，人们
就以为它提供了日常经验的知识所无能为力的理想。人们根据数学便设想思想是高于感
官的，直觉是高于观察的。如果感官世界与数学不符，那么感官世界就更糟糕了。人们
便以各种不同的方式寻求更能接近于数学家的理想的方法，而结果所得的种种启示就成
了形而上学与知识论中许多错误的根源。这种哲学形式也是从毕达哥拉斯开始的。
正如大家所知道的，毕达哥拉斯说“万物都是数”。这一论断如以近代的方式加以
解释的话，在逻辑上是全无意义的，然而毕达哥拉斯所指的却并不是完全没有意义的。
他发现了数在音乐中的重要性，数学名词里的“调和中项”与“调和级数”就仍然保存
着毕达哥拉斯为音乐和数学之间所建立的那种联系。他把数想象为象是表现在骰子上或
者纸牌上的那类形状。我们至今仍然说数的平方与立方，这些名词就是从他那里来的。
他还提到长方形数目、三角形数目、金字塔形数目等等。这些都是构成上述各种形状所
必需的数目小块块（或者我们更自然一些应该说是些数目的小球球）。他把世界假想为
原子的，把物体假想为是原子按各种不同形式排列起来而构成的分子所形成的。他希望
以这种方式使算学成为物理学的以及美学的根本研究对象。
毕达哥拉斯的最伟大的发现，或者是他的及门弟子的最伟大的发现，就是关于直角
三角形的命题；即直角两夹边的平方的和等于另一边的平方，即弦的平方。埃及人已经
知道三角形的边长若为3，4，5的话，则必有一个直角。但是显然希腊人是最早观察到3
2＋42=52的，并且根据这一提示发现了这个一般命题的证明。
然而不幸，毕达哥拉斯的定理立刻引到了不可公约数（无理数）的发现，这似乎否定
了他的全部哲学。在一个等边直角三角形里，弦的平方等于每一边平方的二倍。让我们
假设每边长一时，那么弦应该有多么长呢？让我们假设它的长度是m/n时。那么m2/n2=2。
如果m和n有一个公约数，我们可以把它消去，于是m和n必有一个是奇数。现在m2＝2n2，
所以m是偶数，所以m也是偶数；因此n就是奇数。假设m＝2p。那末4p2=2n2，因此n2=2p
2，而因此n便是偶数，与假设相反。所以就没有m/n的分数可以约尽弦。以上的证明，实
质上就是欧几里德第十编中的证明①。
这种论证就证明了无论我们采取什么样的长度单位，总会有些长度对于那个单位不
能具有确切的数目关系；也就是说，不能有两个整数m、n，从而使问题中的m倍的长度等
于n倍的单位。这就使得希腊的数学家们坚信，几何学的成立必定是独立的而与算学无关。
柏拉图对话录中有几节可以证明，在他那时候已经有人独立地处理几何学了；几何学完
成于欧几里德。欧几里德在第二编中从几何上证明了许多我们会自然而然用代数来证明
的东西，例如（a＋b）2=a2＋2ab＋b2。正是因为有不可公约数的困难，他才认为这种办法是
必要的。他在第五编、第六编中论比例时，情形也是如此。整个体系在逻辑上是醒目的，
并且已经预示着十九世纪数学家们的严谨了。只要关于不可公约数还没有恰当的算学理
论存在时，则欧几里德的方法便是几何学中最好的可能方法。当笛卡儿介绍了坐标几何
学（解析几何）从而再度确定了算学至高无上的地位时，他曾设想不可公约数的问题有
解决的可能性，虽然在他那时候还不曾发现这种解法。
几何学对于哲学与科学方法的影响一直是深远的。希腊人所建立的几何学是从自明
的、或者被认为是自明的公理出发，根据演绎的推理前进，而达到那些远不是自明的定
理。公理和定理被认为对于实际空间是真确的，而实际空间又是经验中所有的东西。这
样，首先注意到自明的东西然后再运用演绎法，就好像是可能发现实际世界中一切事物
了。这种观点影响了柏拉图和康德以及他们两人之间的大部分的哲学家。“独立宣言”
①说：“我们认为这些真理是自明的”，其本身便脱胎于欧几里德。十八世纪天赋人权
的学说，就是一种在政治方面追求欧几里德式的公理②。牛顿的《原理》一书，尽管它
的材料公认是经验的，但是它的形式却完全是被欧几里德所支配着的。严格的经院形式
的神学，其体裁也出于同一个来源。个人的宗教得自天人感通，神学则得自数学；而这
两者都可以在毕达哥拉斯的身上找到。
我相信，数学是我们信仰永恒的与严格的真理的主要根源，也是信仰有一个超感的
可知的世界的主要根源。几何学讨论严格的圆，但是没有一个可感觉的对象是严格地圆
形的；无论我们多么小心谨慎地使用我们的圆规，总会有某些不完备和不规则的。这就
提示了一种观点，即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理想对象；很
自然地可以再进一步论证说，思想要比感官更高贵而思想的对象要比感官知觉的对象更
真实。神秘主义关于时间与永恒的关系的学说，也是被纯粹数学所巩固起来的；因为数
学的对象，例如数，如其是真实的话，必然是永恒的而不在时间之内。这种永恒的对象
就可以被想象成为上帝的思想。因此，柏拉图的学说是：上帝是一位几何学家；而詹姆
士·琴斯爵士也相信上帝嗜好算学。与启示的宗教相对立的理性主义的宗教，自从毕达
哥拉斯之后，尤其是从柏拉图之后，一直是完全被数学和数学方法所支配着的。
数学与神学的结合开始于毕达哥拉斯，它代表了希腊的、中世纪的以及直迄康德为
止的近代的宗教哲学的特征。毕达哥拉斯以前的奥尔弗斯教义类似