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nF＝2E （式2）
以r代表一个顶角的共有边的个数，则在立方体中，r＝3。同理，每一个边都具有两个顶角。如果把所有的顶角（rV）都计算一遍，则每一个顶角也都要计算两次。因此：
rV＝2E（式3）
把式2和式3代入式1，则得：
2E/r…E＋2E/n=2
两边都除以2E，则得：
1/n＋1/r=1/2＋1/E（式4）
已知n等于3或大于3，因为最简单的多边形是具有三条边的三角形。已知r等于3或大于3，因为至少要三个面夹一个顶角才能构成最简单的多面体。若n和r同时都大于3，则式4的式边得数则要小于2/3。这样，只要E是正数，式4则不成立。于是，再根据谬误归约论，则只能出现两种情况，即或者n＝3，r等于或大于3，或者r＝3，n等于或大于3。
若n＝3，式4则变化为（1/3）＋（1/r）=（1/2）＋（1/E），或下式：
1/r=1/E＋1/6（式5）
据此，r只能等于3、4或5。如果r（原文为E。根据上下文，应为r。——译者注）等于或大于6，则式5不成立。于是，n＝3和r＝3是由 3个三角形共有一个项角构成的多面体。根据式5，这个多面体有6个棱；根据式2，这个多面体有4个面；根据式3，这个多面体有4个顶角。显然，这是一个金字塔或四面形。n＝3和r＝4是一个具有8个面的多面体，其中4个三角形共有一个项角，即八面体。而n＝3和r＝5是一个具有20个面的多面体，其中5个三角形共有一个顶角，即20面体（参见本书第53页）。
若r＝3，则式4变化为：
1/n=1/E＋1/6 ，
同理可得，r也只能等于3、4或5。若n=3，则又是一个四边形；n=4，则是由六个正方形组成的多面体，即立方体；n＝5，则是由12个五边形组成的多面体，即12面体。
综上所述，除了3、4和5外，n和r不可能是其他整数。因此，世界上只能有正五面体。这就是用抽象而漂亮的数学方式推导出来的结果，而这个结果，正如大家都看到的，对人类社会曾经产生过巨大的影响。
附录3 从《大众天文学》到《宇宙》
附录3 从《大众天文学》到《宇宙》
——天文学大众化的100年
·李珩·
宇宙科学的重要使命在于探讨人类地球在宇宙中的位置，人和宇宙的关系，宇宙的构造和演化发展以至于宇航事业的实现和地外文明的探索等等。这些知识不但促进了科学技术的发展，而且在和愚昧无知、迷信偏见的斗争中起到了非常积极有效的作用。因此，宇宙科学的另一使命就是让人民群众去认识字宙、建立科学的世界现。在61年前去世的法国天文学家C．弗拉马利翁，曾经是向群众传播天文学知识的杰出人物，他最有名的著作《大众天文学》初版于1880年，后来不断修订再版，印行数十次，翻译成十几种文字，在全球流传，著名于世。60年代初期，我在李元同志的协助下，曾翻译出版了《大众天文学》的全泽本，由科学出版社于1965～1966年分三册出版，很受我国读者欢迎，对普及天文知识起到了良好作用。
在《大众天文学》问世100年之后，1980年，美国天文学家卡尔·萨根的名著《宇宙》大型电视系列片问世，同名的书籍《宇宙》也出版了，初版印数达50多万册，并用十多种文字，在80多个国家发行500多万册，现在海洋出版社出版了《宇宙》的中译本，我当然是极为高兴的。
卡尔·萨根可以说是当代的弗拉马利翁之一，他在科学普及上的非凡才能已经从《宇宙》一书及电视片的编剧中得到了证实。为了表彰他的功绩，国际天文学联合会于1982年把第2709号小行星命名为“卡尔·萨根”。
由于宇宙科学的空前发展以及大众传播媒介手段的多式多样，使天文学大众化进入了一个黄金时代，也为《宇宙》一书（及电视片）的内容更加丰富多彩奠定了客现基础；再加上作者的博学多识，富于想象和思考，因而作者能使本书把天文、地理、历史、哲学以及生命的起源进化和地外文明的探讨等等都熔于一炉而大放光芒。
《宇宙》中译本出版之际，该书的校译者李元同志求序于我，使我十分兴奋和愉快，愿与读者们共享将由本书带给我们的知识和乐趣。
1986年 6月于上海
时年89岁
附录4 萨根和《宇宙》
附录4 萨根和《宇宙》
卡尔·萨根生于1934年，是当代科学普及界的灿烂明星。也是一位著名的美国天文学家。他所编摄和主演的《宇宙》电视系列片以及根据电视片编写的《宇宙》一书，都成为当代世界的科普名著。萨根在科普工作上的非凡才干完全从《宇宙》中得到充分反映。他能写、会说、善于表演，是一位全才的科普大师。《宇宙》在全世界流传，影响巨大而深远。把《宇宙》移植到我国来，是值得庆幸的。
卡尔·萨根是美国康乃尔大学行星研究室主任，天文学和空间科学教授，也是美国宇航局的科学专家，曾参与了“水手”号、“海盗号”和“旅行者”号行星探测任务的科学设计工作。他还是美国天文学会行星部主席，美国地球物理学联合会行星学部主席，曾担任国际上知名的行星研究专刊《Icarus》主编达12年之久。他的科学论文和科普文章有500余篇。他的科普著作，除本书外，译成中文的还有：《伊甸园的飞龙——人类智力进化推测》、《外星球文明的探索》、《宇宙科学传奇》。
《宇宙》出版于1980年，由纽约蓝灯书屋（Random House）出版，365页。同名的电视系列片（14集，放映14小时40分钟）也在同年播映。
1980年秋，我在刚刚结束了《中国大百科全书·天文学》的繁重编图工作之后，正等待着我国自编的第一卷大百科全书的诞生之际，我忽然得到了《宇宙》一书的出版和电视片播映的消息，于是就产生了要把《宇宙》介绍到我国来的愿望。
美国最著名的《国家地理》杂志，每月发行1000多万份，在显著位置介绍了《宇宙》电视片。美国最著名的天文普及杂志《天空和望远镜》也对本书和电视片作了详尽报导，并发表了一些精彩镜头。美国的《时代》周刊把萨根刊登在封面上当做重要的新闻人物和科学家来报导，一时“萨根”和“宇宙”的名字传遍全球，形成一阵不小的科普浪潮。
1981年11月，我收到日本著名科普作家和翻译家木村繁先生寄赠的由他翻译的《宇宙》的日译本。后来，又见到日本旺文社根据《宇宙》电视片中的精美镜头，于1980年12月出版了《宇宙》的彩色图册四大本，版面豪华，印刷精美，在世界科普图册中也可称得上是空前之作。
1982年5月，我收到我国天文界老友，台北天文台蔡章献台长转道东京给我寄来的日本旺文社《宇宙》图册的中文译本4巨册，书名为《宇宙的时代》，由蔡章献审定，台湾光复书局1981年6月出版。这套图册为大16开本，精装，铜版纸彩印，每册144页，这在我国科普图书的单本著译作中，是空前豪华的版本。同年台湾环华出版事业公司也翻译出版了这套《宇宙》图册，由沈君山教授审定，在日本印刷。印制十分精美。
我认为，应该把这本科普名著的原本翻译过来。1982年8月，我收到老友、美籍科学家刘中我博士从美国寄赠的《宇宙》原版，至此，我感到时机已经成熟，因此积极推动《宇宙》的译制工作。一面向中央电视台推荐译制《宇宙》电视片，一面向有关出版社推荐出版原著的中译本。不久电视片先开始译制，由北京天文台的卞毓麟和科学出版社的吴伯泽等同志进行翻译，文字译稿已于1984年完成。
恰在这时，周秋麟同志推荐的《宇宙》一书已在海洋出版社列选。原书翻译工作由周秋麟约请吴依俤、郑太平、文铁岭、朱淑娥等同志共同完成，全书译成后，周秋麟同志委托我对译稿校译一遍，这使我感到十分愉快，我还邀请了北京师范大学专攻英国文学的廖康老师和我合作进行校译。廖康同志对本书也给予高度评价，他还用本书的素材向北师大的部分同学进行了一次演讲，结果大受欢迎，可见本书魅力之大。
近年来，在我国报刊上也先后对《宇宙》加以评介：中国图书进出口总公司朱福铮同志撰写的“萨根和他的《宇宙》”一文发表在《人民日报》1983年6月27日第七版；北京天文馆陈丹同志写的“卡尔·萨根作品介绍——《宇宙》”刊登在《科普创作》1984年第1期；上海科技报的钱汝虎同志写的“美国科普作家卡尔·萨根”载于《科普创作》1982年第2期；莫愁同志写的“向往宇宙的人”发表在《飞碟探索》1985年第3期。以上这些文章都对《宇宙》进行了分析和赞美。
的确，《宇宙》这本书不仅是向人们介绍知识和史料，而且是要人们懂得怎样用科学造福于人类。《宇宙》是一部具有深刻思想和远大目光的好作品。
现在，《宇宙》中译本和读者见面了，这是我国科普界的一件喜事。本书是根据1980年美国蓝灯书屋的版本译出，又根据1985年出版的袖珍本核校的。在此，对于推动本书翻译有过贡献的人们，特别是蔡章献台长、刘中我博士和木村繁先生以及陈丹同志等，我们表示衷心的感谢。李珩老台长为本书作序，不胜感激。
由于种种原因，我们在翻译时删去了一些图片（此之所言删去的图片已在新版中补齐。——编者注）。限于水平，译本若有不足之处，敬请指正。
李元
1987年夏至于中国科普研究所