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第二种方法是靠触摸。这主要用在妇女和低等阶层中。（至于高等阶层，我马上就会讲到。）陌生人之间相互进行识别时——不是识别个人，而是识别其所属的阶层——用的就是触摸。在你们三维世界，有教养的人初次见面时需要“引见一番”。我们这里则是要“引摸一番”。在远离城市偏僻地区，乡绅们今天仍采用一种古老的，也是我们二维世界习用的方式相识。他们初次介绍两个人相识时是这样说的：“请允许我请求您摸一摸我的朋友某某先生，也请您让他摸一摸。”不过在城市里，“让他摸一摸”这一部分如今已被省略掉了，于是这句话便成了“请允许我请求您摸一摸我的朋友某某先生。”当然，活虽是这样说，“摸一摸”仍是相互间的。而在不愿多费一丁点儿事，也不在乎保护自己语言的纯洁性的现代派新潮青年中，这种惯用语句又被进一步缩短，于是便成了：“X先生，请摸Y先生。”之类的话。此时，“摸”已成了专门术语，意为“允许我请求您摸一摸同时也被摸一摸”。
然而，请读者们不要认为，触摸对于我们也像对你们一样令人不快，或者认为我们在判断别人属于哪个阶层时必须接触它的所有边。从打上学时起，又经过实际生活的长期训练和实践，使我们用触觉能一下子判断出等边三角形、四边形和五边形的不同角度，至于等腰三角形那没头脑的尖顶，更是触觉迟钝的人也能摸得出来的。一般来说，我们只要摸一个角，就可以判明这个人所属的阶层，只有对贵族还做不到这一点。判断他们要困难得多。我们有一所著名的学府温布里奇大学，连那里的文科硕士也摸不出对方是十边形抑或十二边形，至于究竟是二十边形还是二十四边形，那就连科学博士也未必能摸出来了。
凡还记得我在上文中提到的有关妇女法典的大致内容的读者，都会立即想到，进行触摸而结识人时应谨慎小心，否则触摸者便可能因不经意而受到对方尖角的不可补救的伤害。为了触摸者的安全，被触摸者一定要一动不动；无论是惊吓之下的一挪，还是毛毛燥燥的一动，诺，甚至只是打一个大喷嚏，都会产生致命的后果，从而葬送刚要开始的也许有希望长期维持的友情。对于较低阶层的三角形更是如此，他们的眼睛离尖顶是那么远，以致于他们几乎不能看到那里的情况，而且他们又天性粗犷，对讲究条理的多边形的轻轻触摸很不敏感。因此，他们也许只是偶然地晃上一下，就会夺去一条高贵的生命。
我的祖父是位顶呱呱的好人。他在所从属的不幸的等腰三角形阶层中不规则程度最低。他在作古前得到了卫生与社会部门的认可而成为等边三角形——这是以四比三的表决结果通过的。我常听他流着痛苦的泪水回忆本家族往昔的一桩过失。他的太祖父是一位受人尊敬的工人，顶角是59^30'。我这位不幸的先祖遭受着风湿病的折磨。一次，当一个五边形触摸他时，他悸动了一下，于是不幸斜向刺穿了这位大人。这给他带来了长期的牢狱之灾，而且又株连到所有亲属。他们的顶角都离他们争取的角度远了一度半。在他的曾祖父一代，登记的角度只有58^，直到第五代上才实现60^，从而从等腰三角形阶层提升到等边三角形阶层。而这一系列的苦难只是一次轻轻的触摸引起的。
至此，我仿佛听到了诸位受过良好教育的读者们在问：“在二维国里，你们怎么会了解度啦、分啦、秒啦的呢？我们处在三维空间里，所以能看见角，能看见相交的两条直线，或是位于一条直线上的若干小段。你们辨认不出角来吧，恐怕更分辨不出角的大小来吧！”
我的回答是：虽然我们看不见角，可我们能推断它们的存在，而且能十分精确。在需要的促进下，也在长期的训练下，即使不用尺和量角仪器，我们也能比你们用视觉更精确地辨认各种角度，此外也不应忽略另一点，就是我们还有“天助”——这就是我们的又一条自然法则：等腰三角形的顶角从半度即30'开始，每一代可以增长半度，一直增到60^止。到这个角度上，他们便可摆脱底层地位，成为自由人而步入规则图形的阶层。
可见，大自然为我们等腰三角形提供了顶角从30'增到60^的升级图，全国的每所小学校里也都有活人的陈列。由于偶然的退化，以及多过前者的道德和智力的停滞，再加上罪犯和流浪汉的高生育能力，因此社会上总有不少顶角为30'或1^的等腰三角形，顶角小于10^的更不在少数。他们没有公民权，其中很大一部分甚至连当兵都不够格。政府只得把他们提供给教育界消耗。为避免伤人，需把他们锁绑起来，放到小学校的教室里，用以教育中层百姓的子弟，使学生们得到有关他们的知识。而提供这些知识的可怜虫自己却连这点关于自身的常识都不了解。
有为数不多的学校给这些活标本东西吃，因此使他们能苟活几年，但在法制更强化的温带地区，不供食物而每个月——在不进食的情况下，罪犯的平均存活期为一个月——更换活标本的办法，从长远计对教育青少年有更好的效果。在条件较差的学校，由于缺乏购置活标本的经费而让标本进食以多活些时间的作法，固然能省钱省事，但是这点好处，一部分会被提供食物的花费抵销，一部分会因标本连续好多个星期被学生们触摸造成磨损所导致的教学效果下降抵消。频繁更换还有一条很重要的优越性，就是它有助于减少过剩的等腰三角形。这种减少在效果上并不十分明显，但仍能觉察得到。二维国的所有政治家一向都持这一观点。我知道许多校董会欢迎少换标本的“廉价系统”，但我认为，真正的经济是消费，对标本的选用也不例外。
不能让有关学校的问题来转移我们的主题。关于靠触摸来辨认的方式，我觉得自己已经说了不少了。这种方法不像有人想象的那样费事、那样没有准头、触觉显然比听觉更可信赖。但正如前所述，这种方式有一定的危险性，因此中低阶层中的一部分人，以及所有的多边形和圆宁可用第三种方法进行辨认。这就是下一节的内容。
6。视觉辨认
这里又出现了视觉辨认，是不是同以前的说法不一致了呢？我在前面固然说过、在二维国里，各种图形统统表现为直线，但这并不意味着用视觉就不能辨认形体。现在我就来向三维世界的批评家们说明我们是怎样用视觉来相互辨认的。
如果读者们再费心看一下前面所说的内容，就会发现那里说的是低等阶层中的情况。在高等阶层中，以及在温带地区，人们是借助视觉实现辨认的。各个地区和各种阶层的人们之所以能靠视觉进行识别，是因为有雾的缘故。这种雾在一年中的大部分时间里遍布除热带以外的所有地区。若在三维世界，雾对你们来说是不折不相的坏事，它会遮蔽景观、压抑情绪，并且有碍健康。可雾对于我们却不亚于空气那样重要；它堪称艺术之保姆，科学之母亲。我还是别忙着唱颂歌，先讲清我的意思吧。
如果没有雾，我们看到的会只是清一色的长短直线，根本无法进一步区分——在气候干燥大气澄彻的地方也的确是这种情况。而在多雾地区，物体在一定距离外，比如三英尺远处，看起来就会比两英尺处显得暗淡些。因此，只要经常进行物体明暗程度的仔细观察，就能非常精确地辨认出一个个物体来。
一个例子会比一大堆泛泛之论讲得清楚明白。这里就通过例子解释一下。
设想有两个人向我走来，我想确知他们的身份。如果他俩一个是商人，另一个是医生；换句话说，一个是等边三角形，另一个是五边形，我将怎样辨认出他们来呢？
对于三维世界的孩子，只要学过一点儿几何知识，这个问题就是显而易见的。如果我的目光能等分开向我走来的陌生人所张的角度（A），我就正处在距他挨近我的两个边（即CA和AB）都不偏不倚的地方，我就能看到这两条边是等长的。
现在来看商人，如图3（1）。我能看见什么呢？能看到一直线DAE，这条直线的中点（A）离我最近，所以看起来很亮，但从A点到两端的两段线会随着它们很快隐人雾中而变得暗淡起来，我所能看到的三角形的两个端点，即D和E，实际上就非常之模糊了。
另一方面，对于图3（2）所示的医生，虽然我也只看见一条直线（D'A'E'），它的中点（A'）也是亮的，它的两个边（A'C'和A'B'）也是逐渐变暗的，但它们向雾中隐入得不那么快，因此我看到医生的两个端点D'和E'也不如商人所对应的那两个端点那么模糊。
由这两个例子，读者们大概会明白，那些有知识的人凭借自己的学识，再加上长期的实际训练，是能够很准确地用视觉辨识中、低阶层的人们的。如果你们——我的三维世界的读者们——已经掌握了这个一般概念，至少就会认识到这样做的可能性，而不会认为这一切是不可思议的了。这也就达到了我讲这段话的目的。不过，如果让我进一步解释其中的细节，那我只得知难而退了。年轻而缺乏经验的人，可能会觉得——根据前面我讲的两个简单的例子——用上述方法也能容易地辨认出我的父亲和我的儿子，那我就必须指出，在实际生活中，大多数视觉辨认要比上述情况细致复杂得多。
例如，当我的父亲（一个三角形）走近我时，很可能会以一条边而不是一个角正对着我，这时我就得让他转一转身，或者我自己围着他兜上几步路，才能把他分辨出来，否则，此时我会怀疑我看到的是一段直线，或者说是一位妇女。再有，当我的一个孙子（六边形）陪着我时，他的一个边（AB）会直对着我，从图4中可以清楚地看出，在我看来他只是一条整个都比较明亮的、即使在两端也不怎么变模糊的直线（AB），再一边接上一段短短的暗淡的线段（CA和BD），而后两条线段的端点C和D是较模糊的。
在我们这里，有教养的人在生活中有一个重要内容，就是运用他们的名牌大学里从著名教授那里学到的几何学的丰富知识——有两种几何学，静止几何学和运动几何学——用眼睛辨认出其它有地位者的角度。由于辨认者自己是在运动的：或旋转，或前进，戎后退，被辨认者可能人数众多，又都可能同时朝各个方向运动着，进行辨认实在是不容易。对此，就是三维世界里最卓越的数学家也是会相信的。但是我这里不准备再谈了。
只有极少数的最显赫最富有人家的子弟，才有时间和金钱全面学习这项高尚而重要的艺术。甚至连我这个名望不低的数学家，又是两个很有出息的完全规则的六边形的祖父，一旦置身在地位更高的一群转动的多边形中间，有时也会感到十分窘迫呢。当然，普通的商人或者贫民，一旦置身于这种环境中，就会像你们——尊敬的读者们——一旦来到我的国家时一样地困惑和迷悯。
置身于这样的一群人之中，你会看到周围都是线，而且看上去都是直的，在这些线的各个部分上，明暗强度又都不断地无规则地变化着。即使你在大学的五边形班和六边形班里学满了三年，出色地掌握了这方面的理论，也会感到还需要经过多年实践，才能在上流社会的人群中走动而不致撞上人，而这些人又把别人的触摸看成是十分无礼的举动。由于他们有较高的文化修养，因此了解你的一切动作，而你对他们却了解甚少，或几乎是一无所知。总之，要在多边形社会里应付裕如，自己就得是个多边形。这至少是我亲身痛苦经历的总结。
说来也许令人惊奇，这种视觉辨认艺术有时简直可以说是成了本能，这主要靠反复实践和避免触摸培养成的。这正如你们三维世界中的聋哑人，一旦学会了正规的哑语，就再也无法掌握凭口形识别正常人的语言这门更重要更困难的技术一样。对于我们，“看”就同这一情况一样，一旦在小时学了触摸法，“目识术”就再也学不到家了。
因而，在高阶层人士中，触摸术是不受鼓励的，甚至干脆遭到禁止。他们的孩子自幼不是进公立小学读书（那里教授触摸术），而是被送入专门的高级学习班。在我们的最高学府里，触摸动作被视为严重的过失，初犯者受停学处分，再犯者予以除名。
但是，在那些低等阶层，视觉辨认术被看作是可望而不可及的东西。一个普通的商人是不可能拿出巨款让儿子花掉三分之一的时间去从事这种抽象问题的研究的。由于穷人家允许孩子从小对人进行触摸，因而在早年，他们若与多边形阶层的那些刚受到一半教育的孩子所表现的迟钝，不成熟和行事拘谨相比�