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F（I）＝1，那么1＝O＋P2F（2）。由此可得F（2）＝1/P2；或者，由于P2＝3/4，F（2）＝4/3，以相似的方式可以计算出所有其他收入的效用。我们能够唯一地导出F（2），因为我们就范围和原点作了任意的设想。更一般地讲，我们应该说如果任何F（I）可使选择合理化，则任何aF（I）＋b的函数都会如此，只要a＞O，后一个函数带来与范围和原点有关的不确定因素。
我们刚刚看到，我们能够根据关于个人从有限的几笔款项中，做出选择的知识，得出F（I），在每一种款项里都最多有两项可能的收入（在刚刚列举的例子里，例中的B1和B2加上其他由两项收入构成的组合，其中一项收入始终为O）。该F（I）除因原点和测度单位而引起的不确定问题外是唯一的。但是，由于我们能够从任何B计算出G（B），如果这种特定理论是有效的，则一旦我们知道了F（I），显然我们也就了解了个人如何排列可想象到的款项，因此可以说，这种特定理论具有十分真实的内容，也就是，它经得起反驳。
我们现在应该努力得到一个F（I）函数，这个函数应该是看起来能够对大多数观察到的现象做出说明。我们观察到，人们并不是有钱没处花，而且由此推知，人们将选择更多的收入而不是更少，这意味着F’（I）＞O。我们知道，尽管有时根据保险统计计算，购买一项保险并不公平，人们还是要购买它。这就意味着对有些收入而言F”（I） ＜0。另一方面，我们知道，人们都进行着赌博，包括购买保险的那些人。如果赌博与人们投保的风险完全一样，这一点就不能自圆其说，但赌搏不是这样。通常说来，他们购买的赌博如同买彩票，人们因此而获得巨奖的机会很渺茫，为了对这些现象做出合理说明，我们可以画一条象图4．2所示的曲线。在这个图上，A区为保险区域，比起巨大收入出现损失的很小机会来说，这里的人们宁愿选择收入上肯定会出现的一个小的损失。这是因为此处预期收入的效用大于预期效用，B区的存在说明了赌博的现象。由于它的存在，甚至A区的人们也可能会选择巨大所得的很小的机会，而不选择很小损失的很大的机会。这里的预期收入的效用少于预期效用。C区是必不可少的，可用它来说明有名的圣彼得堡悖论，它在彩票的设奖结构中也已不言自明。如果不是由于效用曲线在某些点上再次变成下凹形的这一事实，人们就会愿意花无数的钱去玩涉及圣彼得堡悖论的游戏。与此相同，如果效用曲线没有在某些点上再次变成下凹形的话，我们就应该想到彩票不是设几个奖，而是只设一个大奖。
也许应该就所有这些与可测效用问题的关系讲几句话。如果这个假设是正确的，那么，我们就可以建立起一个F（I）函数，该函数只是因范围和原点方面的原因而具有不确定的性质，然而，我们不需要把F（I）作为效用函数。确实，我们在前面把G（B）定义为效用函数。现在很明显，即使在我们的特定理论的条件下，如果一个G（B）可使选择合理化，则G（B）的任何函数都会如此，只要它不改变各选择的排列次序；也就是，如果你有一个G（B）＝∑P· F（I），则只要H’＞o，，那么任何其他函数H＇G（B）＇＝H＇∑PF（I）＇都会如此。
可以像下面这样更加概括地陈述我们的特定理论：有一组函数aF（I）＋b，其中a为正数，b为任意数，使得一组函数H［G（B）］＝H（∑P［aF（I）＋b］）。这里H’＞0，产生一种个人对于不同收入的概率分市在偏好上的正确排列。也就是说，如果允许他在任何两个概率分布（比如说B1和B2）之间进行选择的话，他就会优先选择B1而不是B2，在B1与B2之间表现为无差异，或者优先选择B2而不是B1，这些都依H［G（B1）］＞、=、＜H［G（B2）］的情况而定。
很明显，起初的G（B）是最易使用的函数，但没有必要这样做。结果是，无法从“绝对”意义上把效用说成是“可测量”的。确实，在这种意义上，效用可否测量的问题到底有什么意义是大可怀疑的。
概率估值
为了导出 F（I）而假设的试验涉及到提出一些有关本题的赌博方式。对依那个函数而作的附加选择带有特定概率的推测需要能够确定附属于那些选择的概率。如何去做呢？
最适合我们效用分析的方法是由L．J．萨维奇充分发展了的“个人概率”方法，他是在布鲁诺·德·芬尼提工作的基础上创立这一方法的。这种方法是说，正象我们所能够设想的，个人在行动时，好象是把一个确定的效用——我们的F（I）函数的一般说法——赋予每一件有可能发生的事件，如果这一事件的确发生了的话，因此，我们也可以设想他在行动时似乎是把一个确定的概率赋予了每个这样的事件。人们假设这些“个人概率”服从概率数学的通常法则：也就是，被指定到一组相互排斥，且穷尽了各种情况的事件上（其中一个必须发生）的概率加总后等于一；被指定到两个互相独立事件上（两个都在发生）的联合概率是被指定到单个事件上的概率的积，等等。
原则上讲。这些个人概率是可以通过一系列假设的实验加以确定的，例如我们在推导F（I）时所引入的那种实验，只要此项概率试验在逻辑上先于那种效用试验，由于后者需要概率为已知，这些假设的概率试验能够为每个人都建立起概率的个人尺度，这些尺度可以用来决定他赋予任何事件的概率值，尽管它们是假设的。
实质上，试验的意图是，一旦特别的一组假设的事件发生，让个人选择他想如何得到报偿。例如，在抛出两枚硬币之前，让个人选择他愿意在（A）两枚都是正面时，还是在（B）出现其他结果（两枚都是反面，一个正面，一个反面）时获得一美元，像你可能猜测的，如果他选择当B发生时得到这一美元，这就意味着他认为B的概率要比A大，而且由于A和B是相互排斥和穷尽了各种情况的事件，故B的概率要大于一半。但是，当然没有任何东西来保证他会选择B。也许他检查了硬币，并发现两枚都是两面皆为正面的欺骗式硬币。注意，效用估值并没有进行。不管他选择A或B，奖赏都一样。他在决定可能发生的情况，在此情况下，他情愿获取其效用的相同的增量，也要注意，这里没有任何事情受到个人赋予他假设的、互相替代的事件的任何效用的影响。他可能会有一种特别想看到正面，而不是任何其他情况出现的热情，所以，如果A发生要比B发生使他可能从事件本身得到更多的效用。但是，他对于他要依此得到奖赏的终局情况的选择并不会影响什么结果发生，只是影响到，如果该结果发生，他是否能从一美元奖赏中获得新增的效用。
就这样的选择来做一个试验，直到你找到实验对象在引发奖励的结果方面无差异的一个选择。例如，假设（A）是一次一枚硬币抛掷的正面，（B）是那次抛掷的背面，并且实验对象表现为无差异的，一半时间选择A，一半选择B。然后把一半概率分配给A，上半给B，或一半分配给一次硬币抛掷的正面。在概率的语言里，他把硬币看作“公平”硬币。
确切说明了个人赋予其1/2概率的一个事件后，我们现在可以通过把那个事件作为引发奖赏的其中一个可供选择的基本事件，来确定他是否把其他事件的概率值估计为多于或少于一半。例如，如果（A）在某一天抛掷硬币出现正面，或（B）英国仍是议会民主制，他将宁愿从那一天起5年之后获得一个确定的奖赏。如果他选择B，我们知道，他把大于一半的概率分配给了那个可能性。
为了得到更加精确的个人概率预测，我们必须建立起一个更加精确的比较尺度。例如，提供奖赏给抛掷两枚硬币所获得的四种可能的结果中的任何一种：（A）两个正面；（B）两个反面；（C）正面和反面；（D）反面和正面。如果其结果引发奖赏对于实验对象是无差异的，我们就得到一组事件，对每个事件，这位实验对象都赋予1/4的概率，而且我们也还得到了两项假设的联合检验，一个假设是通常的数学概率法则适用于他的个人概率，另一个假设是他认为这两次抛掷是相互独立的。
原则上，这类试验会使人们有可能如愿以偿地得到一种较好的个人概率比较尺度，并由此而以任何所希望的精确程度确定他赋予任何假设事件的概率值。
每个人在行动时都象是已把一个个人概率值和一个效用值赋予了任何一个假设的事件，并以使预期效用最大化的方式，在提供给他的各种可能性中进行选择的这两个联合假设，现在是一个原则上未包括任何可观察到的因素的假设。
个人行动时好象他们已把个人概率分给所有可能事件的主张是关于行为的一种假设，不是个人心理的表述或关于个人对于一个事件，比如，英国议会民主的持续将赋予多大的概率这一问题将给予一个有意义答复的主张。如果讨论中的事件不很影响他的生活，或者尽管产生影响，不影响他可以控制的那部分行为，就没有理由说，他应该努力就这样一个问题下决心，并且他无疑将随便答复了事。另一方面，如果他的行为中一个重要的部分将有赖于英国的议会民主是否延续下去（用我们假设的试验的话说，如果那个结果所引发的奖赏或损失相当大），那就值得他花时间去构思一个确定的见解。
个人概率方法回避了有关文献里关于“客观”和“主观”概率的许多争论。个人概率方法能够与那个区别相联系的一种途径是，把那些所讨论的群体同意的概率集划分为“客观的”概率，而把那些他们不同意的概率划分为“主观的”概率。与经济学特别有关的一个例子是弗兰克·奈特强调的“风险”与“不确定性”的区别。实质上，“风险”与所谓客观概率相对应。“不确定性”与主观概率相对应。如果采用个人概率方法，这种区别就大大失去了说服力。
《价格理论》
米尔顿。弗里德曼著
第五章 供给曲线与成本曲线之间的关系
供给曲线的定义
考虑一个二维曲线图，其横轴表示每单位时间的商品数量，纵轴表示每单位商品的价格（图5．1）。图上每一点都表示价格和产量的交点。就特定的一级供方（作为一种特殊情况，也可由单个厂商构成）、一种特定的商品和给定的供给条件（下面要更明确地给出），这里的某些点在这样的意义上是可以达到的，即这些供方愿意按所述的价格供应所述的数量，而其他的点在这样的意义上就不能达到，即这些供方不愿按所述的价格供应所述的数量。这些特定商品的特定供方群体，其供给曲线正是在给定的供给条件下，那些可得和不可得的点之间的分界线。
为了作出完整的描述，对供给曲线必须作以下两个说明：（A）被认为供方可进行选择的各种替代方案，（B）供给曲线划分出两个区域中哪一个包括可获得的点。
举例说明（A），如果供方可以作这样的选择，或者按所述的价格供应所述的数量，或者什么都不供给，则供给曲线是一回事；如果供方的选择是，或者按所述的价格供应所述的数量，或者按此价供应任何较少的数量，供给曲线就完全不同了。总之，我们假设后者是可由供方选择的替代方案。
图5．1表达了（B）的确切含义。图中阴影部分表示可达到的点。图5．1（A）中的供给曲线可用两种方式说明：按特定价格可提供的最大数量，或者说可提供特定数量的最小价格、图5．1（b）中的供给曲线只能用一种方式说明：表示可按一个特定价格供应的最大数。图5．1（c）中的供给曲线只表示可依此供应特定数量的最小价格。象图5．1（b）中供给曲线的负斜率部分，通常被称作“向后弯曲的”供给曲线；图5．1（c）中的供给曲线则被称作“向前倾倒的”供给曲线。图5．1（d）中的供给曲线线段没有完整的定义；如果曲线左面的点是可达到的，它就是一条“向后弯曲的”供给曲线；如果曲线上面的点是可达到的，那么它是一条“向前倾倒的”供给曲线。
关于怎样精确定义“给定的供给条件”，即一般来说让什么样的其他条件保持不变更合适，总有一定的不确定性。然而，这个问题在此与要讨论的题目关系不大，所以我们将活用那些似乎是当前惯例的内容，并将那些最需要明确提及的事情包括在“其他条件”中，其中至少有：（1）技术知识——“技术的状态”；�