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数为正整数的二项式定理系数表，从商除、平方、立方、四次方一直到六次方的系数列成一个图，世称贾宪三角形。比西方同样的巴斯加三角形要早六百年。二是增乘开方法，是解一元多次方程求正根的一种简便方法。这种方法也比西方为早。商除是一次，平方是二次（是面积），立方是三次（是体积），这都容易理解。再进一步碰到四次是什么，要突破这一点，确实很非凡，开四次方可以，则开多次方便可类推了。贾宪为我国古代代数学的发展奠定了基础。
贾宪以后，沈括在数学上也做了些工作。一项叫会圆术，就是已知弓形的弦和圆径求弧长。在我国历史上首先提出孤线与直线的关系，但沈括的结论还是一近似公式（这公式元朝郭守敬等人撰授时历时用到它）。又一项叫隙积术，用到一种高阶等差级数求和的方法。沈括还发明了指数相乘的法则。物理学上凹面镜成倒像的解释，沈括说箩家叫“格术”。天文学上推算五星运动的顺逆留合，沈括说算家叫“缀术”。测量学上的审方面势，沈括说算家叫“喜术”。当时对待数学和其他科学的关系，于此可见。
秦九韶，南宋未普州安岳人。早年曾在杭州从隐君子受数学。一二四七年（淳枯七年）著《数书九章》一书。他在著作中发展了贾宪的增乘开方法，解一个一元十次方程式，并附有算图。算图中列算式如层层剥笋，秩序井然，所以现在还有人把增乘开方法叫“秦九韶程序”。秦九韶还发明了整数论中一次同余式组的普遍解法，这就是闻名世界的中国剩余定理。
金代，数学上发明了天元术。大约金中时开始流行，之后得到迅速的推进。一一八四年（大定二十四年），平阳毕履道为了校订地理书用到当时流行的算法。又有平阳人蒋周著《益古》一书，记录了天元术。还有金都水监颁印的《河防通议》（约在明昌年间）也有算法讲到天元术。蒋周这部书已伏，《河防通议》中的算法可以从元人引用中得知。最早的天元术比较简单，立出算式只是解一个一元二次方程。天元术发明后，平阳、太原、东平、真定等地区广为传播。
天元术以“元”代表未知数X，以“太”代表常数项。列式时把元字写在算码的右侧，如11元即表示2x，或单写太，如11太也同。写了元便不写太，写了太便不写元。方程式的各项是从下而上，即太在元下，太是常数项，元是X项，元上是X2项，再上是X3项等等。太下是1/X（即X…1）项，再下是X…2项等等。也有记法从上而下恰恰相反。在用算筹排列时，正数用红色筹。负数用黑色筹。用算码时，正负数也用红黑色区别，但为了书写方便，可在算码的个位数加一斜撇，如…2作，…231作‖川卜。天元术的方法一般是根据问题中已有条件，立天元一（x）为未知数（所求数），最后列出方程式，解方程得数。至于解方程式在一元三次以上，就要用到贾宪的方法。
金末在真定府一带流传的一部数学著作叫《洞渊测圆》，指演算勾股容圆（直角三角形的内接圆）算题共有十三问。李冶根据此书加以推广，又集天元术的大成，写出了他的名著《测圆海镜》。
天元术出现后，很自然地发展为天地二元木，天地人三元术和天地人物四元术。这大概已是元代的事了。
现在流传下来的元代数学著作有：《锦囊启源》、《透廉细草》、《丁巨算法》（一三五五年），只存辑本；《算法全能集》、《详明算法》、《算学启蒙》（一二九九年）、《四元玉鉴》（一三○三年）存有足本。后两书都是朱世杰所撰。朱世杰是元朝数学家的代表，也是当时世界上杰出的数学家之一。
朱世杰在数学上的贡献主要是发明四元术和多种高阶等差级数求和方法。他是一位数学教习，周游湖海二十余年。他的数学实践活动大约在元朝初期。由天元术发展到四元术是当时数学演算中的必然结果。四元术以天地人物表示四个未知数，天在下，地在左，人在右，物在上，中间是太。和天元术的表示法相类，太（常数项）下面是天的一次方、二次方等等，左边是地的一次方、二次方等等，右边是人的一次方、二次方等等，上面是物的一次方、二次方等等。如果天与地相乘则放在左下方各位置，地物、物人、人天相乘类似。只有不相邻的天物（上下）、地人（左右）相乘各项，则放在相应的夹缝内。四元术的计算方法用四元消法，把四个元经过剔消，最后剩下一个元。这个元如果不是天元，可以易位。然后用天元术的解法，求得答案。《四元玉鉴》的一篇序文上说：“上升下降，左右进退。互通变化，乘除往来。用假象真，以虚问实。错综正负，分成四式。”这种数学思想的形成是经过了比较复杂的思辩过程。在我国古代数学中明确提出数学“用假象真，以虚问实”，这还是第一次。
朱世杰的多种高阶等差级数求和方法，古代叫垛积术。他以茭草垛（即一加二加三加四……）为母垛，推演出各种不同方式的垛而求其积。其名称有英草落一形、三角落一形、撤星更落一形等十多种。朱世杰在垛积命名和演算上都掌握了演绎归纳的初步方法，他演算的结果和推导的公式都很准确。朱世杰这方面的工作，在当时的世界上也是先进的。
由于手工业生产的发达，商业上交换的频繁，宋元时代实用算术方面也有很大的进展。第一是发明了除法口诀。第二是出现了完整的算码。第三是计算工具由筹算发展为珠算。
简易乘除法在唐中叶已有人注意。北宋初徐仁美设“增成立一”法，沈括说：“增成一法，都不用乘除，但补亏就盈而已。假如欲九除者增一便是，八除者增二便是。”九除增一和八除增二就是后来的九一下加一和八一下加二等句。同时，宋初的应天历内提到身外除一、身外除三等，身外除一指除数是十一，身外除三指除数是十二。可知除法口诀在宋初已开始有了萌芽。这一新生事物很快为广大人民所掌握，到南宋末和元初，除法九归的口诀便全部成熟了。二一添作五、三一三十一等句在计算技术中传诵开来。又在田亩计算中发明了飞归。在斤两换算中，创造出斤求两和两求斤炔。记录简易乘除法的专书应推南宋末杨辉的著作。杨辉是钱塘人，著有《杨辉算法》，对后来省算工作的推广影响很大。
南宋出现了算码，关键是零符号的发明。南宋蔡沈的《律吕成书》内，把118098用文字表示为十一万八千□□九十八，这□□即代表空百。画方时一快便变成○了 。大约江南在南宋未，北方在金末元初，数学著述中都出现了○的符号。零的发现是数学史上一件大事。北宋司马光《潜虚》中曾经以×表示四。这样我国算码的初步形体是｜ ｜｜ 川 乂 ò 义，后来书写ò变成8，义变为夂为文。这就是后世所说的苏州码子字。在阿拉伯数码字推广使用以前，我国数学上的演算，商业上的会计都用这种算码。
元代已普遍使用算盘。刘因《静修先生文集》中有算盘诗。元剧中也见算盘。元末明初陶宗仪的《辍耕录》已论算盘珠。近年发现洪武辛亥（一三七一年）金陵王氏勤有书堂新刊《对相四言杂字》（看图识字书）有算盘图，十档，上二珠下五珠。这是目前发现最早的珠算算盘图。这部《对相四言杂字》中图绘的服装纯是元代式样，知此书的租本当在元代。书中还有算子图，算子即算筹。《水浒传》中所称的算子也即这种算筹。由此看来，元朝到明初仍是筹算和珠算并用时代，大概到明中叶以后，便废弃筹算而专用珠算。
（二）医学与本草学
宋朝编辑出版了大量医药书籍，传播医药文化。仁宗时，两次集中校刊医书。一○二六年（天圣四年）编辑出版了王惟一的《铜人腧穴针灸图经》三卷，并在汴京刻石。又铸铜人，刻画经穴传授。九七八年（太平兴国三年），王怀隐主编《太平圣惠方》一百卷，按一千七百二十九种症状，收集一万六千八百三十四份处方，分一千六百七十门类编排，在九九二年（淳化三年）和一○八八年（元祐三年）先后出版。太宗雍熙年间，贾黄中等人编辑《神医普救方》达一千卷之多。徽宗时，曹孝忠主编《圣济总录》二百卷，收录药方二万多，已雕板而不及付印，北宋亡。金军占领汴京时取走书板，后在金、元刊刻。
神宗元丰中，诏令各地名医进特效药方，由太医局通过试验，证明可用后，按方制药，在太医局熟药所出售，并把药方出版，公诸于世。徽宗大观时，陈师文等又进行订正，凡录二百九十七药方，分二十一门，这就是有名的《和剂局方》。局方的出版是北宋后期医学中的一件大事。局方所收的都是复方，这是我国古代第一部由国家颁发的配方手册。岳珂说：“《和剂局方》乃当时精集诸家名方，凡几经名医之手，又经太医局内臣参校，可谓精矣。”《和剂局方》一书后来曾不断增补，在宋朝风行一时。
北宋医学已分九科，即：大方脉（内科）、风科、小方脉（儿科）、产科、疮肿兼折伤（外科）、眼科、口齿兼咽喉、针灸、金镰兼书禁（金链也属外科，书禁指祝由科等类）。
宋代医学上的成就，以儿科为最著。北宋中叶，钱乙著《小儿药证直诀》三卷，钱乙专研儿科四十多年，对儿科常见病都有比较准确的治疗方法，已能鉴别痘疹和其他发热病不同。南宋初，刘昉等人编《幼幼新书》四十卷，同时还有《小儿卫生总微论方》二十卷，收集儿科病例比较全面。前者对婴儿保育方法、新生儿病和小儿发育异常等都有详细的记载。后者举出小儿脐抽风和成人的破伤风属同一种病，是诊断学上很大的发明。又对小儿缺唇的缝合和小儿骈指的切断，也创我国医学上的先例。
妇产科在宋代也有进展。哲宗时，杨子建著《十产论》，记载了横产（手先露或臂先露）、倒产（足先露）、偏产（额先露）、碍产（脐带攀肩）等不同类型，并说明如何使胎位转正的各种方法，是我国古代产科学上的著名文献。南宋陈自明著《妇人大全良方》二十四卷，也是一部妇产科的重要专著。
南宋出现了病因学的著作。陈言著《三因极一病证方论》十八卷。三因是把疾病发生归纳为三种原因：
一种是由于气候影响的疾病，叫做外因病；一种是由于情感关系而得的疾病，叫做内因病；还有一种是由于饮食关系或外伤引起的病叫不内不外因病。当然这种分类法还欠完善，但病因学的出现，说明南宋在医学研究上跨进了一步。南宋末，施发著《察病指南》，绘有脉影图，也是一项医学上的成就。
一二四七年（淳祐七年），宋慈著《洗冤集录》五卷。这是总结宋和宋以前的法医学知识，包括杀伤、验尸、检骨和死伤的鉴别，服毒致死的毒物介绍，和救死方的记载等。其中合血法和滴骨法，有一定的道理。
金代医学的发展，分为三期：海陵王以前为前期，世宗至章宗泰和时为中期，章宗泰和年以后为后期。
前期医学的代表是成无己的工作。成无己原为北宋开封名医，后随金军北上，为权贵携居临演。他的工作主要是对《内经》、《伤寒论》等古典医书作注释。由于成无己名望很大，所以他的著作受到当时的重视，开金代研究医学的风气。中期医学的代表是刘完素和张元素两人，《金史·刘完素传》说他“好用凉剂，以降心火，益肾水为主。”赵秉文《闲闲老人滏水文集》也说：“本朝大定间，河间刘守真号完素，精干《素问》，多用凉药，以矫一时之弊。”所以后世称刘为寒凉派。《金史·张元素传》说：元素“平素治病不用古方”，“古方新病，不相能力”，自为家法，独树一帜。后期医学的代表是张从正和李杲。张从正，字子和，他去世时金朝还没有亡。李杲则进入元代。张从正继承了刘完素的学术思想又有所发挥。他用古医书的汗下吐法，用得很精，号称“张子和汗下吐法”。他力主去邪而用攻法，所以后世称他为攻下派。张从正晚年颇不得志，他自己写了一首诗，说“酷嗜医经五十年，野芹曾献紫宸前，而今憔悴西山下，更比文章不值钱。”李杲是张元素的学生，他有两部医学名著，一是《内外伤辨惑论》，二是《脾胃论》。元好问为《脾胃论》作序，说：“往者遭壬辰之变，五六十日之间，为饮食劳倦所伤而没者将百万人，皆谓由伤寒而没。”“壬辰之变”即指《金史·哀宗纪》所载的天兴元年（一二三二年）五月“汴京大疫