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或者是他的弟子，发现了毕达哥拉斯定理：直角三角形两直角边之平方和等于斜边的平方。毕达哥拉斯并未举例去证明这个定理，而是采用数学演绎法去全面证明它的。现代数学——所有学科的基础，都离不开演绎法，毕拉哥拉斯对此做出了不可磨灭的贡献。也正是他，首次使用了“宇宙”这个词，以表示那秩序井然、谐和协调的大千世界。他认为，这个世界应当为人们所了解。
许多爱奥尼亚人认为，宇宙间的谐和协调可以通过观测和实验获得，这正是当代科学普遍采用的方法。然而毕达哥拉斯的方法却全然不同。他认为，自然规律可以完全由思维推断出来。因而他和他的弟子们基本上不注重实验。⑨他们是伟大的数学家，同时又是神秘家。伯特兰·罗素尖刻地说：“毕达哥拉斯”创立了一种宗教，其主要教义就是灵魂与肉体处于无限的轮回之中。他的宗教植根于宗教秩序，教义中不时阐明要控制国家，建立起圣洁的戒律。但凡夫俗子总是渴望享受的，自然迟早要违背他的教义了。”
毕达哥拉斯学派专注于数学论证的确立。他们认为数学是一个人类才智可以认识的纯净世界，数学是一个宇宙体。其中直角三角形的边的关系，完全符合简单的数学关系式。数学王国同现实中杂乱无章的平凡世界是绝然不同的。他们觉得，通过数学论证，他们已经窥测到一个完美的实体世界，一个神祗的王国，我们生活的这个世界，只不过是这个神祗王国不完整的投影罢了。在柏拉图关于洞穴的著名寓言中，捆着的囚犯只要看见路人的影子，就相信那是路人本身。他们从来没有想到，只要他们能够转过头来，就不难看清复杂现实的真相。看来，柏拉图，还有后来的基督教，都受到了毕达哥拉斯学派的重大影响。他们都不敢把矛盾的论点摊到桌面上来，而是如同所有正统的宗教一样，实行清规戒律，以防止修正自身的错误。西塞罗就此写道：
毕达哥拉斯学派醉心于正方立体，醉心于各边均为等量正多面体的对称立体。其中最简单的例子就是立方体，立方体的每一个面都是一个正方形。正多边形的数量无穷无尽，但正立方体却只有5种（关于这一点的证明，是数学推论的一个著名例子）。出于某些原因，他们对有12个5角形的、称做12边形的多面体，感到特别可怕。这个问题同宇宙神秘地联系在一起，当时人们认为，世界是由土、火、气、水等4大元素组成的，毕达哥拉斯学派把这4大元素同4种正多面体联系起来。毕达哥拉斯学派认为，第5种正多面体，一定与某种第5类元素有关，这类物质只能来自天上（这就是第5元素quintessence这个词的由来）。他们不让一般的人知道12面体的存在。
毕达哥拉斯学派对整数尤为钟爱。在他们看来，一切物体，当然也包括其他数字，都可由整数导出。但到后来，这种信条发生了危机，因为他们发现，2的平方根（正方形的对角线与边之比）竟是一个无理数，不能由任何两个整数之比（不管这两个整数多大）准确地表达出来。具有讽刺意味的是，他们正是在应用毕达哥拉斯定理时发现这种怪事的。“无理数”这个词，其本意只是说明一个数不能由比值表示。但对于毕达哥拉斯学派来说，却如同洪水猛兽了；因为这个词意味着他们以往的全部观点都是错误的。这种想法从今天的观点来说才真正是“无理的”。对数学上的这种重要发现，他们不敢拿出来公开，而是捂住2的平方根和12边形的知识，不让外人了解真情⑾。即使在今天，仍然有一些科学家反对科学大众化。他们主张神圣的知识只能在信徒间流传，不能让大众了解。
毕达哥拉斯学派认为，球体是“完美无缺的”，因为球面上的任何一点离球心的距离都相等。环形圈因而也是完美的。他们始终认为，星球是在环形轨道上作匀速运动。他们觉得，行星在轨道上运行时不可能时快时慢，非圆形运动是不可能的，它们既然不受地球的影响，也一定是“完美无缺”的。
对毕达哥拉斯学派研究法的褒贬可以从开普勒的毕生研究明显地看出（参见第三章）。毕达哥拉斯学派关于宇宙是不可感知的、神秘而完美的世界这种看法，马上被早期基督教徒接受了，同时成为开普勒早期受教的主要内容。开普勒一方面坚信天地间存在着数学的和谐（他写道：“天体是由和谐的比例装饰起来的。”），从简单的数值关系中，就可以确定星体的运动方式。另一方面，他还追随毕达哥拉斯学派长期坚持认为只有匀速的环形运动才是可以接受的。但是他在观察星体时多次发现，他这种观点解释不了星体运动方式。于是，他又再次观察。与毕达哥拉斯学派的许多学者不同，开普勒信赖实际观测和实验结果。通过对星体运动的仔细的反复观测，他终于抛弃了星球沿环形轨道运行的观点，认识到星体是在作椭圆形运动。毕达哥拉斯的理论既激起了开普勒对行星运行和谐性的探索，又束缚了开普勒，使他的研究推迟了10多年。
轻视实践的观念甚嚣尘上，这始于古老的世界。柏拉图极力鼓吹天文学家要去研究天体，但不要浪费时间去观测天体。亚里士多德则认为：“下等人在本质上是奴隶，所有的下等人最好应该由一个主人来统治……，奴隶是主人的生命的组成部分；工匠同主人的关系稍疏于奴隶，工匠只有成为奴隶后才能具备相应的优秀品质。中下等的技工具有不同的特殊奴隶身份。”普鲁塔克认为：“没有必要遵循这样的原则：倘若一项工艺品制作精美，令人愉悦，其制作者便值得尊重。”色诺芬的看法是：“人们称为工艺品的一类物品都印有社会的烙印，在我们的都市中当然要受到唾弃。” 出于上述种种认识，爱奥尼亚的充满前途的光辉的实验方法，被人们束之高阁竟达2000年之久。没有实践，则无法在诸多学说中加以抉择，科学也就无从前进。毕达哥拉斯学派反对实践的观点，至今仍有市场，原因究竟何在，这不能不使人深思。这种对实验工作的厌恶究竟从何而来？
科学史专家本杰明·法林顿认为，古代科学的衰败，究其原因在于经商的传统。这个传统既导致爱奥尼亚科学的发生，也导致奴隶制经济的产生。拥有奴隶，便铺平了通向金玉满堂、权势显赫的大道。毕达哥拉斯的城堡是由奴隶们建造的。在伯里克利、柏拉图和亚里士多德的时代，雅典拥有大量的奴隶。雅典人津津乐道的民主，其实只适用于少数特权者，奴隶不过当牛做马从事体力劳动而已。由于科学实验也是一种体力劳动，因此奴隶对于科学实验是退避三舍的。但反过来说，又只有奴隶主——有些国家里尊称“绅士”——才有闲暇去搞科学。因此，科学几乎无人问津了。古爱奥尼亚人完全有能力造出某些较为高级的机器，但奴隶制的存在使技术进步缺乏经济动力。因此，在公元前600年左右，经商的传统对伟大的爱奥尼亚科学昌明的产生起到重大的作用，而奴隶制却又可能是两个世纪之后科学衰败的原因。这不能不使人啼笑皆非。
类似的现象在全世界比比皆是。1280年，是中国天文学的鼎盛时期，其代表人物是郭守敬。他以1500年来前人的天文观测为基础，改进了天文观测仪器和计算技术。人们普遍认为，自他以后，中国的天文学便江河日下了。内森·西维因认为，至少有一部分原因是“上层人物对科学越来越僵化、墨守陈规，从而使知识界对技术的探索和兴趣有减无增，也不愿把科学研究当做行之有效的重要进身之阶了。”于是，研究天文学的钦天监成为家传因袭的职衔，这种做法同天文学的进展大相径庭。此外，“天文学研究一直为朝廷所垄断，并在很大程度上听任外国技术人员的摆布。”他们主要是听任耶稣会传教士的摆布，他们介绍了欧几里德和哥白尼的学术观点，中国人对这样的学术思想惊讶不已，但当他们检查过耶稣会教士带来书籍后，自然而然地要竭力隐瞒和压制日心说的观点。在印度、玛雅和阿兹台克文明中，科学之婴死于母腹的原因也许与爱奥尼亚文明衰败的原因相同，都与奴隶经济的发展有关。从政治上来看，当代第三世界国家的一个主要问题，就是受教育者都是富裕家庭的子弟，基于这种现状，他们理所当然地不习惯于体力劳动，同时也不会对传统的知识提出挑战，为此，科学难以扎根。
公元前7世纪至公元5世纪之间，爱奥尼亚和其他希腊科学家的大致生卒年表。从表中可以看出希腊科学家的衰落，因为在公元前1世纪之后，著名科学家就屈指可数了。
在奴隶制度下，柏拉图和亚里士多德过着优裕舒适的生活。他们为人压迫人的制度辩护，为专制君主服务，宣扬肉体和精神分开的观点（这是一种在奴隶制社会极其自然的观点），他们把物质同意识分割开，把地球同天体拆离开。他们这种分割统一体的思想，在西方思想界占据了2000多年之久。信奉“神祗无处不在”的柏拉图，实际上是用奴隶制的比喻联结他的政治思想与宇宙学说。据说，他曾经竭力主张烧毁德漠克利特的所有著作（他也曾主张烧毁荷马的所有著作），原因也许在于德漠克利特不承认灵魂与上帝是永恒的，也许是因为他不承认毕达哥拉斯的神秘主义，或者在于他相信存在无数的星体。据传，德漠克利特撰写了73部重要著作，涉及了人类的所有知识，但所有这些著作约已荡然无存。现在我们对德漠克利特的了解，主要来自一鳞半爪的零碎材料，其中主要是记载在伦理学书籍中一些间接的资料。其他古爱奥尼亚科学家的遗著的命运也大批相同。
毕达哥拉斯和柏拉图承认世界是可知的，而且认为存在一种支持自然界的数学规律。他们这两种认识大大推动了科学的发展。但另一方面，他们压制和掩盖已所不欲的科学发现，主张科学研究应仅限制在少数几个出类拔萃者的圈子内，而且，他们鄙视实验，追求神秘主义，为奴隶制辩护，这些则对人类进步造成了很大损害。在长期神秘地埋没后，部分原因是由于亚历山大图书馆的学者们的传播，爱奥尼亚人开创的事业毕竟还是复苏了。西方世界又苏醒了。注重实验及公开探讨的气氛再次得到尊重。无人问津的书籍及其零星散落的著作再次得到人们的查阅。达·芬奇、哥伦布以及哥白尼所进行的事业，可以说是受到了古希腊这种传统思想的激发，或者说是沿着古希腊的研究传统各自进行了再探索。就是在今天，仍然有不少科学成果带有古爱奥尼亚的烙印，不少科学研究工作也像他们那样自由大胆。但与此同时，也有不可思议的迷信，以及惊人的伦理上的愚昧，现代人仍受到古代思想斗争的影响。
柏拉图的弟子及其后来的基督教徒们，有一种令人不解的观点，他们认为地球是不干不净的，甚至有点儿污秽，天体才是完美无暇的、神圣的。他们不承认或是忘记了地球是宇宙中的一颗行星，人类是宇宙的居民这一基本思想。首次提出这种思想的是阿里斯塔恰斯，他在毕达哥拉斯逝世300年后出生在萨摩斯岛，是爱奥尼亚最后一批优秀科学家之一。到他的时代，人类文明的中心已经转移到古埃及的亚历山大城图书馆。阿里斯塔恰斯首次阐明行星系的中心是太阳，而不是地球。他认为所有的行星都是绕太阳而不是绕地球运行的。无独有偶，他在这方面的论著也散失了。他通过计算月食时地球对月亮投影的面积得出结论说，太阳不仅离地球非常遥远，而且也比地球要大得多。因此，他当时可能推论过，像太阳那么大的一个星体，竟然绕地球这样渺小的星体运转，这是十分荒唐的。他提出太阳位于宇宙的中心，认为地球绕地轴自转一周需要一天，绕太阳转动一圈则需要一年。
人们通常把这个观念同哥白尼的名字联系在一起。伽利略在评价哥白尼时说，哥白尼只是日心说的“再现者和证实者”，而不是最早的发现者⑿。尽管有人在公元前280年已经相当清楚地说明了行星的位置，但在阿里斯塔恰斯和哥白尼之间的1800年中，几乎没有人知道这些行星的确切位置。这种观点触怒了阿里斯塔恰斯的某些同代人。如同阿那克萨哥拉、布鲁诺和伽利略的遭遇一样，也有人大喊大叫，阿里斯塔恰斯不信神，该受惩罚。就是在人类文明的今天，反对阿里斯塔恰斯和哥白尼，在日常生活中提倡地球中心说的例子，依然屡见不鲜。我们还在说太阳“升起”了，太阳�