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跑，我也不禁止你呀。你怎么看不出我偏袒的是你呢？你嘀嘀咕咕地说距离长短不等，
其实，如果你会利用的话，对你是大有好处的，这一点你怎么不懂呢？”话已经说得很
清楚了，而他也明白了；为了要进行选择，就需要仔细地观察。起初，他想用脚步去量，
但是，一个小孩子用脚步去量总是量得又慢又不准的，此外，我又决定在那一天举行几
次赛跑，这样一来，这种游戏就变成了一件使人心急的事情了，觉得把赛跑的时间浪费
去测量路线是很可惜的。孩子们的活泼性情，对这种慢吞吞的办法是不喜欢的，所以他
们就要练习好好地看，好好地用眼力去测距离。因此，我没有费多大的气力就培养了这
种兴趣。经过几个月的试验和纠正测量的错误以后，就使他的眼睛变成了一个目测仪，
以至我随便把一块点心放在很远的地方，他一看就知道有多少距离，其准确的程度同测
量师用测链测量是一样的。
在所有的感觉中，视觉是很难同心灵的判断分开的一种感觉，因此需要花很多的时
间去学习观看，需要常常把视觉同触觉加以比较，才能使它熟练于观察形状和距离之间
的正确关系；如果没有触觉，没有前进的运动，则世界上最锐利的眼睛也无法告诉我们
这个空间是什么样子。整个宇宙，在一个蛤蜊看来不过是一个小点，即使有人去告诉这
个蛤蜊，它还是觉得不过如此。只有通过行走、抚摩、计算和测量物体的尺寸，我们才
能学会怎样估计物体；然而，如果老是采用测量的方法，则感官对仪器将形成依赖，不
能获得正确的感觉能力。然而，孩子们不应当一下就抛弃测量的办法而进行估计；他们
不能一次作通盘比较时，就先一部分一部分地比较，用估计的数字去代替准确的数字，
但又不要老是用手去测量，而要习惯于单凭一双眼睛去测量。我想，我们对孩子最初做
的几次目测可以实地检验一下，以便改正他的错误，如果在视觉中还存在有什么错误的
印象，他就可以学会怎样进行更好的判断，去加以纠正。我们有一些几乎在任何地方都
可应用的天然的尺度，那就是：我们的脚步、两臂伸直的总长和我们的身躯。当一个孩
子要估计一座房子的高度时，他的老师就可以做他的尺子；如果他要估计一个钟楼有多
高，他就可以用房屋做衡量的标准；如果他要知道一条路有几里长，他就可以根据走了
几个小时的路来计算；特别重要的是，所有这些，我们不要替他去做，而要让他自己去
做。
我们要正确地判断物体的广狭和大小，就要认识它们的形状，甚至能把它们描绘出
来；因为，归根到底，描绘物体是绝对要按配景的法则去画的，如果对这种法则一点也
不懂得，就不能根据它们的样子估计远近。孩子们是善于模仿的，他们看见什么东西都
想画，所以我要我的这位学生也学习这门艺术，其目的，不是为这门艺术而学这门艺术，
而是在于使他的观察正确和手指灵巧；一般地说，他懂得不懂得怎样进行这样或那样的
练习，关系是不大的，只要能够做到心灵眼快，并且获得我们要经过练习才能获得的良
好的身体习惯就行了。如果一位教图画的老师只知道拿一些仿制品来教他描画，只知道
教他照着图画来画，那么，我是不愿意请这位老师来教他的；我希望他的老师不是别人，
而是大自然，他的模特儿不是别的，而是他所看到的东西。我希望摆在他眼前的是原件
而不是画在纸上的图形；我希望他照着房子画房子，照着树木画树木，照着人画人，以
便养成习惯，仔细地观察物体和它们的外形，而不至于老是拿那些死板板的临摹的绘画
当作真实的东西来画。我甚至不愿意他在眼前没有那个东西的时候凭记忆来画，我要使
他画过屡次的观察，把它们的正确的形象印在他的心中，以免拿一些稀奇古怪的样子去
代替事物的真正形象，因而失去了比例的观念和鉴尝自然的美的能力。
我当然知道，他采用这个方法，也许在一个很长的时期中所画的东西都是乱七八糟
什么都不象的，他画了很久以后还不能象画家那样画出清晰的轮廓和线条，也许根本就
画不出什么逼真逼俏的效果和图画的风味；然而在另一方面，他通过这种练习，他的眼
睛看东西可以看得更正确，他的手画东西可以画得更准，他就可以了解动物、植物和各
种天然物体之间大小和样子的真正比例，他就可以在配景作画方面取得得心应手的经验。
我想达到的目的就是这些，我的意图不是要他懂得如何描绘什么东西，而是要他懂得如
何认识那些东西；即使他画大门柱上苕叶形的装饰画得不太好，但只要他能认出哪种
植物是苕，我就挺喜欢了。
此外，在这个练习和其他练习中，我不使我的学生只觉得他一个人好玩。我希望我
能继续不断地同他一块儿分享乐趣，使他觉得这种练习更有兴味。除我以外，我不希望
再有别人同他竞争，但是我这个竞争者，对他是并无妨害的，因此可以使他练习的时候
很有兴趣，而不至于在我们之间造成猜疑。我也照他那个样子拿着铅笔，起初也象他那
样不会使用。我想做一个阿贝尔，可是我发现我却画得很糟糕。我开始画一个人，同小
孩子在墙上画的人是一样的；每个胳臂画一笔，每条腿也是画一笔，十根指头画得比胳
臂还粗。过了很久以后，我们两人都看出了这种不相配称的情形；我们发现一条腿要粗
一些，但是粗的程度并不是到处都是一律的；胳臂的长度应当同身体成比例，等等。在
这样的进度中，我不是同他一块儿前进，便只是走得比他稍稍快一点点，以至使他容易
追上我，而且往往还超过了我。我们有颜色和画笔；我们试着描画各种东西的色彩、面
貌和状态。我们着色，我们绘图，我们随随便便地画，但在随随便便地画的时候，我们
要不断地观察自然；除了大自然这位老师眼前的东西以外，其他的东西我们一概不画。
我们从前担心没有什么东西装饰我们的房间，而现在，你瞧，什么都有了。我们用
框子把我们的图画装起来，并罩上很好的玻璃，以免谁再去动它；我们两个人看见这样
放置图画，心里都想，不要忘了把自己的图画也这样放上去。我依次把它们挂在房间的
四面墙上，每一幅画都要反复画二十到三十次，以便从每一张画中看出作者的进度：开
头画的房子只不过是一个简单的四方形，而现在，它的正面、侧面、比例大小和影子，
都画得非常逼真。这样逐步提高，使我们继续不断地获得了许多有趣的图画，这些图画，
在旁人看来颇以为奇，而在我们，则可鼓励我们经常地互相竞赛。我给我们最初画的那
几幅最简单的图画装上亮晃晃的金边框子，以便使它们看起来比较美观；但是，当我们
照着实物画得越来越象，而且确实是画得很好的时候，我反而只给它装一个简单的黑色
框子，因为它本身已经很美，不再需要别的装饰，而且，要是让框子分去了人们对图画
应有的注意，那是一项损失。所以，我们每一个人都以得到简朴的框子为荣；当一个人
看不起另一个人的图画时，就说应该给它装上金框子。也许，几天以后，这些金框子就
在我们之间成了笑柄，而且，我们也希望许多人都采用这种按图画的好坏装配框子的办
法去评判他们自己的装饰。
我已经说过，几何学是不能被孩子们所理解的；但推究其原因，只能怪我们做得不
对。我们没有认识到他们的方法和我们的方法不同，没有认识到几何学对我们可培养推
理的熟练，而对他们则只能培养观察的熟练。所以，我们不要拿我们的方法去教他们，
而要拿他们自己的方法去教；这样做更好些，因为我们学习几何学的时候，是把它当作
一件既是推理的也是想象的事情的。当一项定理提出以后，就要去想象怎样论证，也就
是说，要找出这个定理是根据哪一个已知的定理得出来的，并且在那个定理得出来的种
种结论中去确切地选择它所需要的结论。
这样做法，即使是最谨严的推理家，如果他没有创造的才能的话，也马上会束手无
策的。其结果怎样呢？结果，论证的方法不是由我们自己去找，而是由他口头讲给我们
听；老师不是在教我们推理，而是在替我们推理，只是把我们的记忆力练习一下罢了。
画一些很准确的图形，把它们拼起来，一个一个地重叠起来，研究一下它们的关系；
这样，你无须讲什么定义、命题或任何论证的方法，只简简单单地把图重叠起来，反复
观察，就可以学会全部初等几何学。至于我，我是不想教爱弥儿几何学的，相反地，要
由他来教我；由我寻找那些关系，而他则发现那些关系，因为我在寻找那些关系时，采
用了使他能够发现那些关系的方法。例如画圆周的时候，我不用圆规，而用一根线一端
系一个笔尖，另一端系在一个轴上转一个圈。画好以后，我就把一个个的半径加以比较，
这时候，爱弥儿就会笑我，就会告诉我说，如果把那根线老是画得那么紧的话，是不至
于画出不相等的半径的。
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爱弥儿（第二卷）
第九节
如果我要量一个六十度的角，我便以这个角的顶点为中心，画一个整个的圆形而不
画一个弧形；因为，对孩子们是不能采取什么不言自明的含蓄作法的。我发现这个角的
两条线间切取的那一部分圆是整个圆形的六分之一。画完以后，我又以这个角顶为中心
画一个比较大的圆，我发现这第二个弧形仍然是它的圆形的六分之一。我又画第三个同
心圆，我在这个圆上又做了同样的试验，终于使爱弥儿对我这种愚蠢的做法大吃一惊，
于是就告诉我说，这个角所切取的每一个弧，不论大小，都是圆形的六分之一，等等。
这样一来，我们马上就懂得半圆规的用法了。
为了证明三角形三角之和等于二直角，别人是画一个圆来证明；而我则相反，我先
使爱弥儿在圆周内看出这一点，然后对他说：“如果把圆周去掉，留下这几条直线，这
几个角的大小变没有变呢？”等等。
一般人对作图的准确性是不大注意的，认为可以假定它是准确的，因此，就把他们
的注意力集中于怎样证题。我们的做法则相反，我们所关心的，不是怎样证法；我们认
为最重要的是，画线要画得很直，很准确，很均匀；画方就方，画圆就圆。为了证明图
是不是画得精确，我们就用所有一切可以觉察得到的特征去检验它；这样，就使我们每
天都有发现一些新特征的机会。我们按一条直径把一个圆摺成两个半圆；按对角线把一
个正方形摺成两半：我们把两个图形加以比较，检查哪一个图的边摺得最准确，因而把
那个图分得最好；我们要讨论一下在平行四边形和不等边四边形中是不是也能够分得这
样平均，等等。我们有时候在没有做试验以前就要预言一下是否能做得成功，并且要尽
量找出其中的道理，等等。
对我的学生来说，几何学只不过是一门怎样掌握使用尺子和圆规的艺术；千万不要
把它跟图画混同起来，他在画图画的时候是不用这两种器具的。应当把尺子和圆规都锁
起来，不要轻易给他使用，而且，即使使用，用的时间也要很短，以免他习惯于拿它们
去乱画；我们可以在散步的时候把我们所画的图带在身上，好谈谈我们应该怎样画或者
我们打算怎样画。
我永远也不会忘记这件事情：我在都灵看见过一个年轻人，他小时候，老师每天拿
出许多各种各样几何形状的奶油薄饼，叫他把其中等周形的薄饼都挑选出来，想通过这
个办法教他学会周长和面的关系。因此，这个小小的贪吃鬼就把阿基米得的艺术做了一
番透澈的研究，以便去寻找可以多吃几口的饼。
小孩子玩羽毛球，可以锻炼他的眼睛看得准，手打得稳；他抽陀螺，可以增长他的
气力，但是他不能从其中学到什么东西。我有时候问人家，为什么不给孩子们玩大人所
玩的需要技巧的游艺，例如网球、槌球、台球、射箭和足球。他们回答我说，在这些游
艺当中，有些是他们的体力玩不了的，而另外一些，由于他们的五官和四肢发育不够，
所以还不能玩。我认为，这些理由是不对的，这无异是说，一个孩子没有大人那样的身
材，就不能�