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一元E M E J G J H I论派自齐氏之一于“神”
，巴氏之一于“名”
（道）
，至芝诺而一于“实”
（π）
，凡三传而所一者三变。这三变与自然学M E H F家于物质上所一的水气火之三变相似。
（１２）恩培多克勒。 阿格里根的恩培多克勒（约５０—４３０）稍后于巴氏，别创了新说，他以世界为地、水、气、火四种“物根”
（ριωμαα）的一个动变集体，而爱憎（ψιη，I G M H G Iι）为动变的主因。他认为宇宙是完整的球体（σψαιρ）
，F E J H I H I这就是埃利亚的元一或神，却又承认物原有四种之多，这也可算是一个调和折中的学派。他说万物分离，起于憎斗；其合成则由于友爱。宇宙既爱憎并在，故万物此消彼长，或一或多，循环不息。这与赫拉克利特的两仪平衡原理相似，而
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形而上学。
７１４。
恩氏更清楚的表白了“物”与“力”在宇宙间的两项基本作用。恩氏称地、水、气、火四者为“物根”
，同性匀整，不生，不灭，不变。这四种创造万物的素材，以后被称为“元素”
（σια）。作为一个化学分析家，“四大”之说未免武断，作G H J E为一个理论家，这“元素”观念应可算二千余年来化学上的指导思想。
（１３）伊雄新学派。 克拉左美奈的阿那克萨哥拉（约５０—４２８）年稍长于恩氏，而立说则在后。他对于那数百年来诸先哲所追踪的物原别称之为“物种”
（σρμαα）。这些物G E G种如禽兽之羽毛毫发为同类微粒所集成；一禽兽死后，其毛发还分解为微粒，其他禽兽又集摄此类微粒，而各成其毛发。
于骨肉或其它事物亦然。这样的“物种”就不止一或四，而是为数甚多或竟为数无限了。这些就是亚里士多德所举“相似微分”
（μμρ）。照这分析法，物原就不是单纯物而是H J H I混合物（μιμα）。
阿那克萨哥拉又由灵魂或心脑支配全身的活动这类现象推论全宇宙也得有一个大心，他说万物混杂，“理性”（）起而为之安排，宇宙遂以立其秩序。这样，以F H K I“相似微分”为物原，以“理性”为心原，阿那克萨哥拉慎重地举出宇宙两因，该是第一个明朗的二元论者。
（１４）意大利数论派。萨摩的毕达哥拉斯（盛年公元前５３２）的生平蔽于种种传说，后世也难以明其真际。约在公元前５３０年，他离乡至意大利，卜居克洛顿城，在那里创立了一个宗教团契，奉行奥非克宗，守着某些斋戒，进行天文的观察、记录与推算。毕氏为西方数理先师，其门弟子也一直以数理传宗。毕氏思想的概要：（１）灵魂轮回说
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。
８１４。形而上学
（μμψωσι）
，每个灵魂均由于无明志业，从神界降生世界，E G E K J I或为人畜或为乌鱼，历经轮回，净化了的灵魂就可复归神天。
世间兴衰应于天象变化，人天两道为相关的有机组合。
（２）
万物皆原于一（）
，万物亦合于一，一者整体，有限。一与E F H I多、奇与偶、有限与无限为对应，万物从一，从奇，从有限，以各成其为事物。
（３）物体组成皆凭数比，数比即创造的秘密：生物由此以得其身命；琴弦由此以成其和声。八度音程的比例一向传说是毕达哥拉斯发明的（宫调Ｃ２∶１，徵Ｇ３∶２，变徵Ｆ４∶３）。 天体有常规的运行，万物有盛衰的节奏，皆有数（αριθμ）存乎其间，得其数便得有自然的秘密。
H I数论学派列卵石为“四阵图”
（图一）
，这图共十点，三边，底数各四；三面看来，都是四行。四 。
阵图表明数由一生二，进于三四，止于十， 。 。
十为数限；逐行的比例是：１∶２，２∶３，３ 。 。 。
∶４，即乐律（αρμια）。数的德性为完全、。 。 。 。
H F匀称、谐和，三者天心所示亦人心所求。
数图一论派就把这样的数应用于各门学术。古时计数未有符号，也没有０，更无算式，有所交易，有所论说，就列卵石以明其数。数论派把数联系于几何图形，１、２、３、４分别代表点、线、面、体（１０９０ｂ２３）
（图二）。亦即决定这些形状所需要的最
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形而上学。
９１４。
少卵石数。勾股平方等于弦平方的所谓T“毕氏定理”
，正是联系算术与几何的伟大成功。当时以奇偶为限数与无限数的观念也是由卵石演出的：奇数顺次相加辄成正方形；。。。。。
１＋３＝４１＋３＋５＝９。。。。。。。。
余者类推。偶数顺次相加则为长方而形不定；。。。。。。。
２＋４＝６２＋４＋６＝１２。。。。。。。。。。。
余者类推。 又双行列点可由偶数递伸至于无限，奇数则止于末一余点，不复。
E 。 E可以递伸。这样“奇偶”
、“一多”
、“有限无限”三个品种的对成，可相比拟，或竟说可以相通了。
数论派再以几何图形联系于事物，如谓火的基本型式为四面体，气为八面体，水为二十面体，土为六面体，即立方，超四大元素“以太”
（αηθηρ）为十二面体。 这些可算是古代的结晶学，但这是想象的结晶学。数论派把这些神秘的数应用于实物或庶事上，时常有窒碍，也有些怪诞，跟着点线面体四数以后，他们以５代表质，６代表灵魂，７代表理性……。
另一系列事物则以１为脑，２为心，３为脐……。于同数的事物，其间就该有相符的德性。
单位之一作为列数的基元，万
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。
０２４。形而上学
物由数来组成，列数的基元便转化为物质的基元。 这样的单位之一与列数就不仅是算术数，而实际上已各具有特殊的素质或秉赋。数论的基本疑难是元一有对或无对的问题：若承认一的绝对性就不得以“双”或“多”为之匹配；数论派建立“一多”对成时，无法确实说明由一生多的过程。另一方面，一元论派也无法抹掉宇宙间已有的形形色色。
数论派于当代算术、几何、天文以及一切自然科学，常有卓越的创见，也包涵了好些幻想与迷信。中国古代的“河图洛书”与相类似。亚里士多德在“哲学”中用很多章节（如ＭＮ卷等）辟除这些迷信，说明列数应限于计算之用，“一”
只是计量的单位，消释了几百年来各派所附加于元一与列数的神秘性（如Ｉ１、Ｎ１各章）
，说明无限只是数与时间等事物所具有的属性，入于关系范畴（Ｋ１０）。 亚氏在这方面所表现的理知，有助于数学的健康发展。
可是直至二千年后，天算学家如刻卜勒还深信天体间的数比、乐律与几何图案，他发现那奠定近代天体力学的太阳系三律，只是他数十年间毕达哥拉斯式大量幻想中触及的一些真理。
（１５）原子学派。米利都的留基伯（盛年公元前４６０）和他的弟子阿布德拉的德谟克利特（４６０—３２０）
的原子理论，可说是意大利与埃利亚两派学术的综合。留基伯把数学基元应用于物质，建立了具有量度的不可区分物“原子”
（αμα）
，作G H为组成一切事物的实体基元。
“原子”可以拆散，可以重新再组事物，但它们本身各都是永存而不变的，这样，“原子”基本上符合于巴门尼德“元一”的性质；原子论派为那名义上的元一，或芝诺的观念上之实一招徕了一个新的着落。原子
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１２４。
论派也熟悉于芝诺等的“空实”
、“一多”
、“是与非是”等对成辩证，但他们辩证研究的功夫又转到了物质世界。德谟克利特于“原子”作成更具体的说明：原子各包含有活动的能力，于组成万物时，因形状、秩序、位置三项差异（卷Ａ第四章，又１０４２ｂ１２）而产生形形色色的万物。
“原子”这名称在公元后十八世纪又重新为英国化学家道尔顿所采用，这表明近代科学探索物质的途径正还是德谟克利特先已行进的途径。原子论是希腊自然哲学上最后最高的成就。
（１６）
苏格拉底与柏拉图学派。
希腊思想原先重于自然哲学即物学方面。在后，修辞与辩证之法既盛，学者的论题逐渐从宇宙论转向社会与伦理等问题。苏格拉底（公元前４６８—３９）允称这方面的翹楚。亚里士多德曾说到“普遍定义”与“归纳思辨”在学术进境上两件重要发明（１０７８ｂ２９）
应归功于苏格拉底。苏格拉底建立“定义”
（ρισμ）以对付H I诡辩派（智者）混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。 但他的道德观念与社会思想不符希腊人的传统素习，他的风尚也不合于当代的政治气氛，竟在七十岁时被当作诡辩杂说的代表，以惑乱青年的罪名受刑。
好多相从的青年在苏氏殁后，以学术成名，开辟了好些新学派，其中柏拉图尤为杰出。
（１７）苏格拉底在辩证中，由某些事例引出一些“公式”
，再逐次增上，归纳新的事例来扩充或修订这些公式，由公式造成的“定义”
，就可作为是非的标准。这可说是“意式”
（ιδα）
的先启。
关于柏拉图（公元前４２７—３４７）
的意式论，其E中多少得之师说，多少是他自己的思想，至今尚无定论。柏拉图曾从意大利学派承受了丰富的数理知识，也从克拉底鲁
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。
２４。形而上学
那里详悉了赫拉克利特的“消逝”说。他的意式可以看作是苏格拉底的“定义”
，也可以看作是意大利学派的“数比”。
赫拉克利特即明识于感觉世界之刻刻变化而不可捉摸，柏拉图因而指望在非感觉事物上求得不动不变的实是。 从若干事物中抽绎其共通性质，为之设立通名，这通名就代表了这一类事物的永恒实是。 这样人们于变动不息的万物原来无法认识者，就可由这些常住实是求得其真知识。 巴门尼德一元论派执一拒多，执是拒非；柏拉图的意式则“以一统多”
（πιπω）
；抽象而具有普遍性的“意式”由此凌驾于G H E F E H M F物质个体之上。
但我们若想从柏拉图诸“对话”中完全确定意式论的实义是不可能的。这些“对话”既是半文艺半哲学的体裁，所用名词后世也难严格加以界定。柏拉图的思想与年俱进，前篇与后篇思致并不完全一贯。亚里士多德在“哲学”中所诽议的意式论大多是柏拉图殁后，亚卡台米中所流行的学说。
譬如ＭＮ卷反复论述数与意式各题时，迭举“一多”
（αιG H E F Jπηθ）对成诸品种：（１）
“一”与“大和小”
，（２）
“单位”与M H I“未定之两”
，（３）
“等”与“不等”
，而诘责其间的谬妄，这些从意大利学派的“有限”与“无限”
（或有定未定）对成中发展的别名，实际是斯泮雪浦等持论的重点。在数学成长初期，这些应是重要的疑难；在今日数理上已有许多确定的名词与公认的定理，这些迷惑大都就不复存在。在没有完善的数学语言时，要想精确地说明数学问题，总是十分费劲。
本书译文的一些注释多少表达了数学语言成长的经历。
柏拉图认为计点事物的数可以脱离那一堆事物而成为本
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３２４。
２、本３等意式数（象数）
，这些象数若作为自然数来应用，便无庸訾议。意式论者有时超过这些想法，企图从数上找出它实际不具备的特质，这常引人入于幻误。他们于意式数与可感觉事物的计点数之间另设一系列的间体数，也是过度的虚拟。
柏拉图从可感觉物形态上看，很少有准确的几何图形，但几何却在处理那些理想的“象形”
，他