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为了帮助大家更好地分析博弈局势，我们在此将常用的支付矩阵列出，并运用划线法来给出博弈结果。
设博弈模型的局中人1位于支付矩阵的左侧，而局中人2位于支付矩阵的上方。支付矩阵中每一格左边的数表示局中人i的收益，支付矩阵中每一格右边的数表示局中人2的收益。这样，两个局中人不同的策略选择都可以组合为不同的支付函数。如，猎人a和猎人b都选择合作猎鹿时，猎人a所得的收益是10，猎人b所得的收益也是10。类似的，你可以说当猎人a选择各自打兔，猎人b选择合作猎鹿时，前者所得的收益是4，后者的收益是0。
划线法的法则是：
给定局中人2的策略，在局中人i的每个策略选择对应的收益中选择最大的数，在选择的数的下方划一短线以作标志。给定猎人b选择合作猎鹿，那么猎人a的两个策略对应的收益分别是“10”和“4”。显然，应该在“10”下面划线。给定猎人b选择各自打兔，那么猎人a的两个策略对应的收益分别是“0”和“4”，这样，就应该在“4”的下面划线。
给定局中人1的策略，在局中人2的每个策略选择对应的收益中选择最大的数，在选择的数的下方划一短线以作标志。给定猎人a选择合作猎鹿，那么猎人b的两个策略对应的收益分别是“10”和“4”，显然，应该在“10”下面划线。给定猎人a选择各自打兔，那么猎人a、b的两个策略对应的收益分别是“0”和“4”，这样，就应该在“4”的下面划线。
若在支付矩阵中存在双划线的格，即格中的一对数，左边的数及右边的数下方都有短划线。则此格对应的结局，就是博弈的解。上面的矩阵中，通过划线法，我们已经看到这个博弈有两个均衡解：（10，10），（4，4）。
博弈智慧
若支付矩阵中不存在双划线的格，则表示这个博弈不存在纯策略意义上的纳什均衡。也就是在纯策略意义下，此博弈无解。
第22章 均衡理论（）
两千多年前，秦始皇第一次统一了中国大地，并创建了当时世界上最庞大的帝国，得以名垂青史。从当时的历史条件来看，秦国虽然在商鞅变法之后实力大增，但其经济、政治、军事实力是远远不能与六国总和相匹敌的。这种情况下，六国与秦国的形势就产生了两种针锋相对的可能：其一，六国采用“合纵”政策对抗秦国，也就是各国缔结军事盟约，共同抵御秦国的侵略，秦国若对任一国家发动侵略，其他国家必须无条件出兵营救。其二，六国采用“连横”政策与秦国妥协，也就是各国都与秦国签订友好条约，保持双边和平关系。
当时七国之中，只有齐国实力与秦国相当，成为六国军事同盟的核心。一旦齐国放弃“合纵”政策，六国的军事同盟就土崩瓦解。
在这种情况下，秦国与齐国都有两种战略政策可以选择，那就是“合纵”与“连横”。秦国如果默许六国“合纵”，齐国也支持“合纵”政策，结果是秦国势力扩张被遏制，而齐国成为六国领袖，势力得以扩张。秦国采劝连横”政策，齐国仍然采劝合纵”政策，结果是秦国与六国处于对峙状态。秦国默许六国“合纵”，齐国却采用“连横”政策与秦国示好，结果是秦国没有吞并六国的野心自然无法一统天下，齐国的势力也没有得以扩张。而历史的真相是，秦国采劝连横”政策，齐国默许秦国的“连横”政策并与秦国建立友好外交关系，结果齐国最终被灭，千古一帝秦始皇得以名扬千秋。
从秦始皇统一六国的事例可以看出：每一个博弈者从博弈中所得结果的好坏不仅取决于自身的策略选择，同时也取决于其他参与者的策略选择。有时甚至一个坏的策略也会带来并不坏的结果，原因是对方选择了更坏的利他而不利己的策略。也正是因为齐国采用了“连横”这种“利他而不利己”的策略，才使得秦始皇得以一统天下。
在多方竞赛中，往往弱势的选手会联合起来对付强势的选手；而最强的一方又会联合根本没有任何胜算的选手以巩固自己的地位，防止次高选手反超。这种相互依存的策略就构成了一种均衡。
均衡是博弈论中最重要的思想之一，但是却并不复杂。在博弈达到均衡时，局中的每一个参与者都不可能因为单方面改变自己的策略而增加获益。于是双方为了自己利益的最大化而选择了某种最优策略，并与对手达成一种暂时的平衡。在外界环境没有变化的情况下，倘若有关各方坚持原有利益的最大化原则并理性面对现实，那么这种平衡状况就能够长期保持稳定。
在所有的均衡中，纳什均衡是一个基础性的概念。所谓纳什均衡，就是所有人的选择综合在一块，不一定所有选择都能实现最大化原则，但能使所有人都达到最大化的均衡状态。
博弈智慧
现代社会，纳什均衡是人们用来分析商业竞争、贸易谈判等种种现象的有力工具，是对博弈论的重大发展，甚至可以说是一场革命。但值得注意的是，博弈的结果不能都成为均衡。博弈的均衡是稳定的，因此也是可以预测的。
第23章 零和博弈（）
零和博弈是指全部博弈者的最终得益总和是零，比如各种赌博就是一种零和博弈。举个例子，如果是5个人参与的赌博，其中4个人一共输了5000元，那么另外一个人一定赢了5000元。其实，再说通俗一点，人们平常所说的“损人利己”其实也含有零和博弈的意思，参与博弈的双方，一方失去的利益将被另一方得到，所以人们对这种游戏是非常热衷的。
在证券交易所里，a先生是一位常胜将军，非常善于算计对方，在炒卖股票的时候，假如遇到同样有眼光的对手，就会立刻想方设法激怒对方，让对方失去理智，而对方多数都会中他的计，他于是便从中获利。
有一次，a先生预见一家大型食品厂的股票将会上涨，就准备大量购入。但是这一次，他遇到劲敌了。因为对方也是炒股高手，对方也同时看中了这家食品厂的股票，也准备大量买进。这样一来，他们二人就形成壁垒分明的两个阵营。
a先生用了很多办法都没有扰乱对方的心神，对方仍然很冷静地继续抢购股票。
a先生见股票价格在很短的时间里就从20元上涨到30元，而且在双方大量的抢购下，还有继续上涨的趋势。a先生知道，如果对方再继续抢购下去，股票价格还会上涨，那么他就只能得到很少的利润，因此一定得想办法让对方败下阵来。
a先生看股票涨到35元时，突然抛售出到手的3万股。对方不明白a先生突然抛售的原因，于是采取了观望的态度。a先生这一手让这支股票的情势大变，股价迅速下跌，低到和原来相同的价格。而在这时，a先生又异军突起，立刻购入30万股，股票的价格又立即飞涨起来。
这个策略不仅让a先生手中的股票多了起来，而且对方也因此阵脚大乱，没过几天，对方再也无心持有这小部分且不稳定的股票，于是把手中的股票抛售出去了，当然，这些股票大部分落入了a先生的手里，使a先生又大赚了一笔。
受益者的幸福是建立在失去者的痛苦之上的，因为二者所得或所失是相等的。
博弈智慧
零和博弈是与非零和博弈相对而言的，它是一种非合作性的博弈，参与博弈的双方在严格的竞争中，一方的损失往往是另一方的收益，博弈双方的损失和收益加起来总和为“零”，也就是说双方根本不存在严格意义上的合作。
囚徒困境是一种非合作博弈，它的主旨为，囚徒们虽然彼此合作，坚决不吐实情，可为全体带来最佳利益，但在资讯不明的情况下，出卖同伙可为自己带来利益，而被同伙招出来可为他带来利益，因此彼此出卖虽违反最佳共同利益，反而是自己最大利益所在。
第24章 何谓囚徒困境（）
囚徒困境是博弈论的非零和博弈中具有代表性的例子，反映个人的最佳选择并非是团体的最佳选择。
1950年，就职于兰德公司的梅里尔弗勒德和梅尔文德雷希尔拟定出相关困境的理论，后来由顾问艾伯特塔克以“囚徒”方式阐述，并命名为“囚徒困境”。那么，囚徒困境的案例究竟是怎样的呢？
警方破获了一起纵火案，抓住了两名嫌疑犯甲和乙，但是没有足够的直接证据来指控二人入罪。于是，警方分开囚禁两名嫌疑人，分别对他们进行了讯问。为了瓦解分化对方，警方分别对两名嫌疑人说：如果主动坦白，可以减轻处罚；如果顽抗到底，一旦同伙招供，就要受到严惩。
如果两人都拒不坦白，那最后警方会以扰乱社会治安、破坏公共安全的罪名将二人各判刑1年；如果其中一人认罪并作证检控对方，此人将作为证人而免于起诉，而保持沉默的另一人将被重判15年；如果两人都招供，则两人都会因纵火罪被各判10年。
面对这样的情况，甲乙两名嫌疑犯在各自的心里打起了小算盘。甲经过权衡后发现，只有自己招供是最佳的选择，可以获得自由；乙也发现，无论甲招不招供，自己的最佳选择都是招供。所以，最后的结果是，甲乙二人都分别向警方坦白了自己的罪行，甲乙两个自认为聪明的人分别被判刑10年。
如同博弈论的其他例证，囚徒困境假定每个参与者（“囚徒”）都是利己的，即都寻求最大自身利益，而不关心另一参与者的利益。参与者某一策略所得利益，如果在任何情况下都比其他策略要低，此策略称为“严格劣势”，理性的参与者绝不会选择。另外，没有任何其他力量干预个人决策，参与者可完全按照自己意愿选择策略。
从这个角度出发，上面故事中的两名嫌疑犯自然会选择刑期最短的策略。由于两名囚徒隔离监禁，并不知道对方的最终的决策；即使他们能交谈，也未必能够尽信对方不会反口。就个人的理性选择而言，检举背叛对方所得的刑期，总比自己沉默要来得低。二人面对的情况一样，所以二人的理性思考都会得出相同的结论——选择背叛，结果二人同样获刑10年。
因为双方都认为选择背叛自己最得利，所以根本不会去顾及团体利益。而以全体利益而言，如果两个人都保持沉默，两人都只会被判刑1年，总体利益更高，结果也比两人背叛对方、判刑10年的情况更好。但根据以上的假设，二人均为理性的个人，且只追求自己的个人利益。均衡状况会使两个囚徒都选择背叛，结果二人获刑均比合作要高，总体利益较合作为低。这就是“困境”所在。在日常生活中，有很多这样的“困境”存在。
有一则三个老鼠偷油的寓言故事：
三只老鼠一同去偷油喝。到了油缸边一看，油缸里的油只有那么一点点，并且缸身太高，谁也喝不到。
于是它们想出办法，一个咬着另一个的尾巴，吊下去喝。第一只喝饱了，上来，再吊第二只下去喝并且发誓，谁也不许存半点私心。
第一只老鼠最先吊下去喝，它在下面想：“油只有这么一点点，今天总算我幸运，可以喝一个饱。”
第二只老鼠在中间想：“下面的油是有限的，假如让它喝完了，我还有什么可喝的呢？还是放了它，自己跳下去喝吧！”
第三只老鼠在上面缸边想：“油很少，等它俩喝饱，还有我的份吗？不如早点放了它们，自己跳下去喝吧！”
于是，第二只老鼠放了第一只老鼠的尾巴，第三只老鼠放了第二只老鼠的尾巴，都只管自己抢先跳下去。
结果它们都落在油缸里，永远逃不出来了。
还有“鹬蚌相争，渔翁得利”的故事，也说明了这一点。
一只河蚌张开蚌壳，在河滩上晒太阳。有只鹬鸟，从河蚌身边走过，就伸嘴去啄河蚌的肉。河蚌急忙把两片壳合上，把鹬鸟的嘴紧紧地钳祝鹬鸟用尽力气，怎么也拔不出嘴来。河蚌也因此脱不了身，不能回到河里去了。河蚌和鹬鸟就争吵了起来。鹬鸟瓮声瓮气地说：“一天、两天不下雨，没有了水，回不了河里，你总是要死的！”河蚌也瓮声瓮气地说：“假如我不放你，一天、两天之后，你的嘴拔不出去，你也别想活，总要饿死！”河蚌和鹬鸟吵个不停，谁也不让谁。这时，恰好有个打鱼的人从那里走过，就把它们两个一起捉去了。
从“囚徒困境”模式中，我们可以看到，理性的人最后的选择都是“背叛”，不愿通过合作的方式和其他人共同摆脱困境。而在现实中，背叛�